Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15493 / 8564
↖ ↑ ↗
← N 64.830254°
W  9.788818°		 ← 519.56 m → N 64.830254°
W  9.777832°		 →
↑
519.56 m
↓
↑
519.56 m
↓
N 64.825581°
W  9.788818°		 ← 519.66 m →
269 966 m²		 N 64.825581°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472824096679688 y=0.261367797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472824096679688 × 215)
    floor (0.472824096679688 × 32768)
    floor (15493.5)     		tx = 15493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261367797851562 × 215)
    floor (0.261367797851562 × 32768)
    floor (8564.5)     		ty = 8564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15493 / 8564 ti = "15/15493/8564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15493/8564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15493 ÷ 215
    15493 ÷ 32768     		x = 0.472808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8564 ÷ 215
    8564 ÷ 32768     		y = 0.2613525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2613525390625 × 2 - 1) × π
    0.477294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49946622011536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17084711} λ = -0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49946622011536))-π/2
    2×atan(4.4792974732131)-π/2
    2×1.3511488547554-π/2
    2.70229770951081-1.57079632675     		φ = 1.13150138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13150138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.830254°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15493 KachelY 8564 -0.17084711 1.13150138 -9.788818 64.830254
    Oben rechts KachelX + 1 15494 KachelY 8564 -0.17065536 1.13150138 -9.777832 64.830254
    Unten links KachelX 15493 KachelY + 1 8565 -0.17084711 1.13141983 -9.788818 64.825581
    Unten rechts KachelX + 1 15494 KachelY + 1 8565 -0.17065536 1.13141983 -9.777832 64.825581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13150138-1.13141983) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dl = 519.55504999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13150138-1.13141983) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dr = 519.55504999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17084711--0.17065536) × cos(1.13150138) × R
    0.000191749999999991 × 0.425301461191619 × 6371000     		do = 519.564958074008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17084711--0.17065536) × cos(1.13141983) × R
    0.000191749999999991 × 0.425375266747399 × 6371000     		du = 519.655121837816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13150138)-sin(1.13141983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425301461191619-0.425375266747399)×R²
    abs(-0.17065536--0.17084711)×7.38055557794048e-05×R²
    0.000191749999999991×7.38055557794048e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.38055557794048e-05×40589641000000     		ar = 269966.020439371m²