Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15493 / 3215
↖ ↑ ↗
← N 73.131322°
E160.422363°		 ← 708.99 m → N 73.131322°
E160.444336°		 →
↑
709.09 m
↓
↑
709.09 m
↓
N 73.124945°
E160.422363°		 ← 709.25 m →
502 830 m²		 N 73.124945°
E160.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945648193359375 y=0.196258544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945648193359375 × 214)
    floor (0.945648193359375 × 16384)
    floor (15493.5)     		tx = 15493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196258544921875 × 214)
    floor (0.196258544921875 × 16384)
    floor (3215.5)     		ty = 3215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15493 / 3215 ti = "14/15493/3215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15493/3215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15493 ÷ 214
    15493 ÷ 16384     		x = 0.94561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3215 ÷ 214
    3215 ÷ 16384     		y = 0.19622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94561767578125 × 2 - 1) × π
    0.8912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79989843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19622802734375 × 2 - 1) × π
    0.6075439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90865559527216
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79989843} λ = 2.79989843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90865559527216))-π/2
    2×atan(6.74401601413664)-π/2
    2×1.42358934469383-π/2
    2.84717868938767-1.57079632675     		φ = 1.27638236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79989843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.422363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27638236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.131322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15493 KachelY 3215 2.79989843 1.27638236 160.422363 73.131322
    Oben rechts KachelX + 1 15494 KachelY 3215 2.80028193 1.27638236 160.444336 73.131322
    Unten links KachelX 15493 KachelY + 1 3216 2.79989843 1.27627106 160.422363 73.124945
    Unten rechts KachelX + 1 15494 KachelY + 1 3216 2.80028193 1.27627106 160.444336 73.124945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27638236-1.27627106) × R
    0.000111299999999925 × 6371000     		dl = 709.092299999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27638236-1.27627106) × R
    0.000111299999999925 × 6371000     		dr = 709.092299999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79989843-2.80028193) × cos(1.27638236) × R
    0.000383500000000314 × 0.290179082404517 × 6371000     		do = 708.988313189265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79989843-2.80028193) × cos(1.27627106) × R
    0.000383500000000314 × 0.290285591630776 × 6371000     		du = 709.248544891836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27638236)-sin(1.27627106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290179082404517-0.290285591630776)×R²
    abs(2.80028193-2.79989843)×0.000106509226259266×R²
    0.000383500000000314×0.000106509226259266×6371000²
    0.000383500000000314×0.000106509226259266×40589641000000     		ar = 502830.418338909m²