Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15493 / 19040
↖ ↑ ↗
← S 27.994402°
W  9.788818°		 ← 1 078.70 m → S 27.994402°
W  9.777832°		 →
↑
1 078.61 m
↓
↑
1 078.61 m
↓
S 28.004102°
W  9.788818°		 ← 1 078.60 m →
1 163 444 m²		 S 28.004102°
W  9.777832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472824096679688 y=0.581069946289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472824096679688 × 215)
    floor (0.472824096679688 × 32768)
    floor (15493.5)     		tx = 15493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581069946289062 × 215)
    floor (0.581069946289062 × 32768)
    floor (19040.5)     		ty = 19040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15493 / 19040 ti = "15/15493/19040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15493/19040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15493 ÷ 215
    15493 ÷ 32768     		x = 0.472808837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19040 ÷ 215
    19040 ÷ 32768     		y = 0.5810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472808837890625 × 2 - 1) × π
    -0.05438232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17084711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5810546875 × 2 - 1) × π
    -0.162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509281621563477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17084711} λ = -0.17084711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509281621563477))-π/2
    2×atan(0.600927116872572)-π/2
    2×0.541100925030024-π/2
    1.08220185006005-1.57079632675     		φ = -0.48859448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17084711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.788818°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48859448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.994402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15493 KachelY 19040 -0.17084711 -0.48859448 -9.788818 -27.994402
    Oben rechts KachelX + 1 15494 KachelY 19040 -0.17065536 -0.48859448 -9.777832 -27.994402
    Unten links KachelX 15493 KachelY + 1 19041 -0.17084711 -0.48876378 -9.788818 -28.004102
    Unten rechts KachelX + 1 15494 KachelY + 1 19041 -0.17065536 -0.48876378 -9.777832 -28.004102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48859448--0.48876378) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dl = 1078.61029999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48859448--0.48876378) × R
    0.000169299999999983 × 6371000     		dr = 1078.61029999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17084711--0.17065536) × cos(-0.48859448) × R
    0.000191749999999991 × 0.882993460972506 × 6371000     		do = 1078.6994694173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17084711--0.17065536) × cos(-0.48876378) × R
    0.000191749999999991 × 0.88291398138936 × 6371000     		du = 1078.60237403896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48859448)-sin(-0.48876378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882993460972506-0.88291398138936)×R²
    abs(-0.17065536--0.17084711)×7.94795831461359e-05×R²
    0.000191749999999991×7.94795831461359e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.94795831461359e-05×40589641000000     		ar = 1163443.99705937m²