Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15492 / 3220
↖ ↑ ↗
← N 73.099413°
E160.400391°		 ← 710.27 m → N 73.099413°
E160.422363°		 →
↑
710.43 m
↓
↑
710.43 m
↓
N 73.093024°
E160.400391°		 ← 710.53 m →
504 691 m²		 N 73.093024°
E160.422363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945587158203125 y=0.196563720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945587158203125 × 214)
    floor (0.945587158203125 × 16384)
    floor (15492.5)     		tx = 15492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196563720703125 × 214)
    floor (0.196563720703125 × 16384)
    floor (3220.5)     		ty = 3220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15492 / 3220 ti = "14/15492/3220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15492/3220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15492 ÷ 214
    15492 ÷ 16384     		x = 0.945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3220 ÷ 214
    3220 ÷ 16384     		y = 0.196533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.945556640625 × 2 - 1) × π
    0.89111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79951494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.196533203125 × 2 - 1) × π
    0.60693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90673811928735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79951494} λ = 2.79951494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90673811928735))-π/2
    2×atan(6.73109691537754)-π/2
    2×1.42331088359373-π/2
    2.84662176718745-1.57079632675     		φ = 1.27582544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79951494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.400391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27582544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.099413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15492 KachelY 3220 2.79951494 1.27582544 160.400391 73.099413
    Oben rechts KachelX + 1 15493 KachelY 3220 2.79989843 1.27582544 160.422363 73.099413
    Unten links KachelX 15492 KachelY + 1 3221 2.79951494 1.27571393 160.400391 73.093024
    Unten rechts KachelX + 1 15493 KachelY + 1 3221 2.79989843 1.27571393 160.422363 73.093024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27582544-1.27571393) × R
    0.000111509999999981 × 6371000     		dl = 710.430209999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27582544-1.27571393) × R
    0.000111509999999981 × 6371000     		dr = 710.430209999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79951494-2.79989843) × cos(1.27582544) × R
    0.000383489999999931 × 0.290711994423421 × 6371000     		do = 710.271844405573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79951494-2.79989843) × cos(1.27571393) × R
    0.000383489999999931 × 0.290818686566481 × 6371000     		du = 710.532516227472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27582544)-sin(1.27571393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290711994423421-0.290818686566481)×R²
    abs(2.79989843-2.79951494)×0.000106692143059417×R²
    0.000383489999999931×0.000106692143059417×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106692143059417×40589641000000     		ar = 504691.170668507m²