Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15491 / 9846
↖ ↑ ↗
← N 58.135921°
W  9.810791°		 ← 644.91 m → N 58.135921°
W  9.799805°		 →
↑
645 m
↓
↑
645 m
↓
N 58.130121°
W  9.810791°		 ← 645.02 m →
416 001 m²		 N 58.130121°
W  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472763061523438 y=0.300491333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472763061523438 × 215)
    floor (0.472763061523438 × 32768)
    floor (15491.5)     		tx = 15491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300491333007812 × 215)
    floor (0.300491333007812 × 32768)
    floor (9846.5)     		ty = 9846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15491 / 9846 ti = "15/15491/9846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15491/9846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15491 ÷ 215
    15491 ÷ 32768     		x = 0.472747802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9846 ÷ 215
    9846 ÷ 32768     		y = 0.30047607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.05450439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17123061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30047607421875 × 2 - 1) × π
    0.3990478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25364579886371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17123061} λ = -0.17123061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25364579886371))-π/2
    2×atan(3.50309127062221)-π/2
    2×1.29272978087744-π/2
    2.58545956175489-1.57079632675     		φ = 1.01466324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17123061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.810791°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01466324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.135921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15491 KachelY 9846 -0.17123061 1.01466324 -9.810791 58.135921
    Oben rechts KachelX + 1 15492 KachelY 9846 -0.17103886 1.01466324 -9.799805 58.135921
    Unten links KachelX 15491 KachelY + 1 9847 -0.17123061 1.01456200 -9.810791 58.130121
    Unten rechts KachelX + 1 15492 KachelY + 1 9847 -0.17103886 1.01456200 -9.799805 58.130121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01466324-1.01456200) × R
    0.000101240000000002 × 6371000     		dl = 645.000040000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01466324-1.01456200) × R
    0.000101240000000002 × 6371000     		dr = 645.000040000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17123061--0.17103886) × cos(1.01466324) × R
    0.000191750000000018 × 0.527905972695638 × 6371000     		do = 644.910656554481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17123061--0.17103886) × cos(1.01456200) × R
    0.000191750000000018 × 0.527991953407826 × 6371000     		du = 645.015693967234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01466324)-sin(1.01456200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527905972695638-0.527991953407826)×R²
    abs(-0.17103886--0.17123061)×8.59807121882383e-05×R²
    0.000191750000000018×8.59807121882383e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.59807121882383e-05×40589641000000     		ar = 416001.274196754m²