Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15491 / 3227
↖ ↑ ↗
← N 73.054642°
E160.378418°		 ← 712.12 m → N 73.054642°
E160.400391°		 →
↑
712.21 m
↓
↑
712.21 m
↓
N 73.048237°
E160.378418°		 ← 712.38 m →
507 273 m²		 N 73.048237°
E160.400391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945526123046875 y=0.196990966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945526123046875 × 214)
    floor (0.945526123046875 × 16384)
    floor (15491.5)     		tx = 15491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196990966796875 × 214)
    floor (0.196990966796875 × 16384)
    floor (3227.5)     		ty = 3227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15491 / 3227 ti = "14/15491/3227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15491/3227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15491 ÷ 214
    15491 ÷ 16384     		x = 0.94549560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3227 ÷ 214
    3227 ÷ 16384     		y = 0.19696044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94549560546875 × 2 - 1) × π
    0.8909912109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79913144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19696044921875 × 2 - 1) × π
    0.6060791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90405365290863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79913144} λ = 2.79913144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90405365290863))-π/2
    2×atan(6.7130517436813)-π/2
    2×1.42292017879355-π/2
    2.84584035758711-1.57079632675     		φ = 1.27504403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79913144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.378418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27504403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.054642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15491 KachelY 3227 2.79913144 1.27504403 160.378418 73.054642
    Oben rechts KachelX + 1 15492 KachelY 3227 2.79951494 1.27504403 160.400391 73.054642
    Unten links KachelX 15491 KachelY + 1 3228 2.79913144 1.27493224 160.378418 73.048237
    Unten rechts KachelX + 1 15492 KachelY + 1 3228 2.79951494 1.27493224 160.400391 73.048237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27504403-1.27493224) × R
    0.000111790000000056 × 6371000     		dl = 712.214090000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27504403-1.27493224) × R
    0.000111790000000056 × 6371000     		dr = 712.214090000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79913144-2.79951494) × cos(1.27504403) × R
    0.00038349999999987 × 0.291459566968593 × 6371000     		do = 712.116893593431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79913144-2.79951494) × cos(1.27493224) × R
    0.00038349999999987 × 0.291566501577403 × 6371000     		du = 712.378164624045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27504403)-sin(1.27493224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291459566968593-0.291566501577403)×R²
    abs(2.79951494-2.79913144)×0.000106934608810838×R²
    0.00038349999999987×0.000106934608810838×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106934608810838×40589641000000     		ar = 507272.726326276m²