Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15490 / 9867
↖ ↑ ↗
← N 58.013918°
W  9.821777°		 ← 647.08 m → N 58.013918°
W  9.810791°		 →
↑
647.17 m
↓
↑
647.17 m
↓
N 58.008098°
W  9.821777°		 ← 647.19 m →
418 805 m²		 N 58.008098°
W  9.810791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472732543945312 y=0.301132202148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472732543945312 × 215)
    floor (0.472732543945312 × 32768)
    floor (15490.5)     		tx = 15490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301132202148438 × 215)
    floor (0.301132202148438 × 32768)
    floor (9867.5)     		ty = 9867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15490 / 9867 ti = "15/15490/9867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15490/9867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15490 ÷ 215
    15490 ÷ 32768     		x = 0.47271728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9867 ÷ 215
    9867 ÷ 32768     		y = 0.301116943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47271728515625 × 2 - 1) × π
    -0.0545654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17142235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301116943359375 × 2 - 1) × π
    0.39776611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24961909929562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17142235} λ = -0.17142235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24961909929562))-π/2
    2×atan(3.48901373653749)-π/2
    2×1.29166510279336-π/2
    2.58333020558672-1.57079632675     		φ = 1.01253388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17142235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.821777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01253388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.013918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15490 KachelY 9867 -0.17142235 1.01253388 -9.821777 58.013918
    Oben rechts KachelX + 1 15491 KachelY 9867 -0.17123061 1.01253388 -9.810791 58.013918
    Unten links KachelX 15490 KachelY + 1 9868 -0.17142235 1.01243230 -9.821777 58.008098
    Unten rechts KachelX + 1 15491 KachelY + 1 9868 -0.17123061 1.01243230 -9.810791 58.008098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01253388-1.01243230) × R
    0.000101580000000157 × 6371000     		dl = 647.166180000997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01253388-1.01243230) × R
    0.000101580000000157 × 6371000     		dr = 647.166180000997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17142235--0.17123061) × cos(1.01253388) × R
    0.000191739999999996 × 0.529713245978391 × 6371000     		do = 647.084744501191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17142235--0.17123061) × cos(1.01243230) × R
    0.000191739999999996 × 0.529799401044244 × 6371000     		du = 647.189989422285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01253388)-sin(1.01243230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529713245978391-0.529799401044244)×R²
    abs(-0.17123061--0.17142235)×8.61550658532995e-05×R²
    0.000191739999999996×8.61550658532995e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.61550658532995e-05×40589641000000     		ar = 418805.418073041m²