Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1549 / 1605
↖ ↑ ↗
← S 70.902268°
E 92.285156°		 ← 6 395.06 m → S 70.902268°
E 92.460938°		 →
↑
6 385.78 m
↓
↑
6 385.78 m
↓
S 70.959697°
E 92.285156°		 ← 6 376.54 m →
40 778 340 m²		 S 70.959697°
E 92.460938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.756591796875 y=0.783935546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.756591796875 × 211)
    floor (0.756591796875 × 2048)
    floor (1549.5)     		tx = 1549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783935546875 × 211)
    floor (0.783935546875 × 2048)
    floor (1605.5)     		ty = 1605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1549 / 1605 ti = "11/1549/1605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1549/1605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1549 ÷ 211
    1549 ÷ 2048     		x = 0.75634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1605 ÷ 211
    1605 ÷ 2048     		y = 0.78369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75634765625 × 2 - 1) × π
    0.5126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.61067983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.78248567547217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61067983} λ = 1.61067983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78248567547217))-π/2
    2×atan(0.168219488103227)-π/2
    2×0.166659149205025-π/2
    0.333318298410049-1.57079632675     		φ = -1.23747803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61067983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23747803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.902268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1549 KachelY 1605 1.61067983 -1.23747803 92.285156 -70.902268
    Oben rechts KachelX + 1 1550 KachelY 1605 1.61374779 -1.23747803 92.460938 -70.902268
    Unten links KachelX 1549 KachelY + 1 1606 1.61067983 -1.23848035 92.285156 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 1550 KachelY + 1 1606 1.61374779 -1.23848035 92.460938 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23747803--1.23848035) × R
    0.00100232 × 6371000     		dl = 6385.78072000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23747803--1.23848035) × R
    0.00100232 × 6371000     		dr = 6385.78072000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61067983-1.61374779) × cos(-1.23747803) × R
    0.00306795999999987 × 0.32718048787772 × 6371000     		do = 6395.06103453334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61067983-1.61374779) × cos(-1.23848035) × R
    0.00306795999999987 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 6376.54477511518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23747803)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32718048787772-0.32623316950853)×R²
    abs(1.61374779-1.61067983)×0.000947318369189931×R²
    0.00306795999999987×0.000947318369189931×6371000²
    0.00306795999999987×0.000947318369189931×40589641000000     		ar = 40778340.4853209m²