Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15489 / 9844
↖ ↑ ↗
← N 58.147519°
W  9.832764°		 ← 644.70 m → N 58.147519°
W  9.821777°		 →
↑
644.75 m
↓
↑
644.75 m
↓
N 58.141720°
W  9.832764°		 ← 644.81 m →
415 701 m²		 N 58.141720°
W  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472702026367188 y=0.300430297851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472702026367188 × 215)
    floor (0.472702026367188 × 32768)
    floor (15489.5)     		tx = 15489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300430297851562 × 215)
    floor (0.300430297851562 × 32768)
    floor (9844.5)     		ty = 9844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15489 / 9844 ti = "15/15489/9844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15489/9844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15489 ÷ 215
    15489 ÷ 32768     		x = 0.472686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9844 ÷ 215
    9844 ÷ 32768     		y = 0.3004150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.05462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17161410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3004150390625 × 2 - 1) × π
    0.399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25402929406067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17161410} λ = -0.17161410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25402929406067))-π/2
    2×atan(3.50443494692924)-π/2
    2×1.29283098909723-π/2
    2.58566197819446-1.57079632675     		φ = 1.01486565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17161410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01486565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.147519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15489 KachelY 9844 -0.17161410 1.01486565 -9.832764 58.147519
    Oben rechts KachelX + 1 15490 KachelY 9844 -0.17142235 1.01486565 -9.821777 58.147519
    Unten links KachelX 15489 KachelY + 1 9845 -0.17161410 1.01476445 -9.832764 58.141720
    Unten rechts KachelX + 1 15490 KachelY + 1 9845 -0.17142235 1.01476445 -9.821777 58.141720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01486565-1.01476445) × R
    0.000101200000000023 × 6371000     		dl = 644.74520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01486565-1.01476445) × R
    0.000101200000000023 × 6371000     		dr = 644.74520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17161410--0.17142235) × cos(1.01486565) × R
    0.000191749999999991 × 0.527734054498444 × 6371000     		do = 644.700634536907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17161410--0.17142235) × cos(1.01476445) × R
    0.000191749999999991 × 0.527820012053346 × 6371000     		du = 644.805643659808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01486565)-sin(1.01476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527734054498444-0.527820012053346)×R²
    abs(-0.17142235--0.17161410)×8.59575549014835e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59575549014835e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59575549014835e-05×40589641000000     		ar = 415701.491973606m²