Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15489 / 9840
↖ ↑ ↗
← N 58.170703°
W  9.832764°		 ← 644.28 m → N 58.170703°
W  9.821777°		 →
↑
644.36 m
↓
↑
644.36 m
↓
N 58.164908°
W  9.832764°		 ← 644.39 m →
415 184 m²		 N 58.164908°
W  9.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472702026367188 y=0.300308227539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472702026367188 × 215)
    floor (0.472702026367188 × 32768)
    floor (15489.5)     		tx = 15489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300308227539062 × 215)
    floor (0.300308227539062 × 32768)
    floor (9840.5)     		ty = 9840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15489 / 9840 ti = "15/15489/9840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15489/9840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15489 ÷ 215
    15489 ÷ 32768     		x = 0.472686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9840 ÷ 215
    9840 ÷ 32768     		y = 0.30029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.05462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17161410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30029296875 × 2 - 1) × π
    0.3994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25479628445459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17161410} λ = -0.17161410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25479628445459))-π/2
    2×atan(3.50712384591769)-π/2
    2×1.29303330665543-π/2
    2.58606661331086-1.57079632675     		φ = 1.01527029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17161410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01527029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.170703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15489 KachelY 9840 -0.17161410 1.01527029 -9.832764 58.170703
    Oben rechts KachelX + 1 15490 KachelY 9840 -0.17142235 1.01527029 -9.821777 58.170703
    Unten links KachelX 15489 KachelY + 1 9841 -0.17161410 1.01516915 -9.832764 58.164908
    Unten rechts KachelX + 1 15490 KachelY + 1 9841 -0.17142235 1.01516915 -9.821777 58.164908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01527029-1.01516915) × R
    0.000101139999999944 × 6371000     		dl = 644.362939999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01527029-1.01516915) × R
    0.000101139999999944 × 6371000     		dr = 644.362939999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17161410--0.17142235) × cos(1.01527029) × R
    0.000191749999999991 × 0.527390306179784 × 6371000     		do = 644.28069809871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17161410--0.17142235) × cos(1.01516915) × R
    0.000191749999999991 × 0.527476234365703 × 6371000     		du = 644.38567134331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01527029)-sin(1.01516915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527390306179784-0.527476234365703)×R²
    abs(-0.17142235--0.17161410)×8.59281859190153e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59281859190153e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59281859190153e-05×40589641000000     		ar = 415184.425600843m²