Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15489 / 3222
↖ ↑ ↗
← N 73.086633°
E160.334473°		 ← 710.81 m → N 73.086633°
E160.356445°		 →
↑
710.94 m
↓
↑
710.94 m
↓
N 73.080240°
E160.334473°		 ← 711.07 m →
505 437 m²		 N 73.080240°
E160.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945404052734375 y=0.196685791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945404052734375 × 214)
    floor (0.945404052734375 × 16384)
    floor (15489.5)     		tx = 15489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196685791015625 × 214)
    floor (0.196685791015625 × 16384)
    floor (3222.5)     		ty = 3222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15489 / 3222 ti = "14/15489/3222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15489/3222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15489 ÷ 214
    15489 ÷ 16384     		x = 0.94537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3222 ÷ 214
    3222 ÷ 16384     		y = 0.1966552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94537353515625 × 2 - 1) × π
    0.8907470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79836445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1966552734375 × 2 - 1) × π
    0.606689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.90597112889343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79836445} λ = 2.79836445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90597112889343))-π/2
    2×atan(6.72593620806235)-π/2
    2×1.42319935602317-π/2
    2.84639871204635-1.57079632675     		φ = 1.27560239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79836445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27560239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.086633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15489 KachelY 3222 2.79836445 1.27560239 160.334473 73.086633
    Oben rechts KachelX + 1 15490 KachelY 3222 2.79874795 1.27560239 160.356445 73.086633
    Unten links KachelX 15489 KachelY + 1 3223 2.79836445 1.27549080 160.334473 73.080240
    Unten rechts KachelX + 1 15490 KachelY + 1 3223 2.79874795 1.27549080 160.356445 73.080240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27560239-1.27549080) × R
    0.000111589999999939 × 6371000     		dl = 710.939889999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27560239-1.27549080) × R
    0.000111589999999939 × 6371000     		dr = 710.939889999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79836445-2.79874795) × cos(1.27560239) × R
    0.000383500000000314 × 0.290925403795733 × 6371000     		do = 710.811784198516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79836445-2.79874795) × cos(1.27549080) × R
    0.000383500000000314 × 0.291032165241197 × 6371000     		du = 711.072632142846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27560239)-sin(1.27549080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290925403795733-0.291032165241197)×R²
    abs(2.79874795-2.79836445)×0.000106761445463455×R²
    0.000383500000000314×0.000106761445463455×6371000²
    0.000383500000000314×0.000106761445463455×40589641000000     		ar = 505437.175797893m²