Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15488 / 3218
↖ ↑ ↗
← N 73.112184°
E160.312500°		 ← 709.75 m → N 73.112184°
E160.334473°		 →
↑
709.86 m
↓
↑
709.86 m
↓
N 73.105800°
E160.312500°		 ← 710.01 m →
503 914 m²		 N 73.105800°
E160.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.945343017578125 y=0.196441650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.945343017578125 × 214)
    floor (0.945343017578125 × 16384)
    floor (15488.5)     		tx = 15488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196441650390625 × 214)
    floor (0.196441650390625 × 16384)
    floor (3218.5)     		ty = 3218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15488 / 3218 ti = "14/15488/3218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15488/3218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15488 ÷ 214
    15488 ÷ 16384     		x = 0.9453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3218 ÷ 214
    3218 ÷ 16384     		y = 0.1964111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9453125 × 2 - 1) × π
    0.890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.79798096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1964111328125 × 2 - 1) × π
    0.607177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.90750510968127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79798096} λ = 2.79798096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90750510968127))-π/2
    2×atan(6.736261582424)-π/2
    2×1.42342232934817-π/2
    2.84684465869635-1.57079632675     		φ = 1.27604833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79798096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27604833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.112184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15488 KachelY 3218 2.79798096 1.27604833 160.312500 73.112184
    Oben rechts KachelX + 1 15489 KachelY 3218 2.79836445 1.27604833 160.334473 73.112184
    Unten links KachelX 15488 KachelY + 1 3219 2.79798096 1.27593691 160.312500 73.105800
    Unten rechts KachelX + 1 15489 KachelY + 1 3219 2.79836445 1.27593691 160.334473 73.105800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27604833-1.27593691) × R
    0.000111420000000084 × 6371000     		dl = 709.856820000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27604833-1.27593691) × R
    0.000111420000000084 × 6371000     		dr = 709.856820000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79798096-2.79836445) × cos(1.27604833) × R
    0.000383489999999931 × 0.290498723687874 × 6371000     		do = 709.750778190208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79798096-2.79836445) × cos(1.27593691) × R
    0.000383489999999931 × 0.29060533693923 × 6371000     		du = 710.011257262732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27604833)-sin(1.27593691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290498723687874-0.29060533693923)×R²
    abs(2.79836445-2.79798096)×0.000106613251356524×R²
    0.000383489999999931×0.000106613251356524×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106613251356524×40589641000000     		ar = 503913.882343072m²