Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15486 / 8598
↖ ↑ ↗
← N 64.670919°
W  9.865722°		 ← 522.61 m → N 64.670919°
W  9.854737°		 →
↑
522.68 m
↓
↑
522.68 m
↓
N 64.666219°
W  9.865722°		 ← 522.70 m →
273 180 m²		 N 64.666219°
W  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472610473632812 y=0.262405395507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472610473632812 × 215)
    floor (0.472610473632812 × 32768)
    floor (15486.5)     		tx = 15486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262405395507812 × 215)
    floor (0.262405395507812 × 32768)
    floor (8598.5)     		ty = 8598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15486 / 8598 ti = "15/15486/8598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15486/8598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15486 ÷ 215
    15486 ÷ 32768     		x = 0.47259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8598 ÷ 215
    8598 ÷ 32768     		y = 0.26239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17218934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26239013671875 × 2 - 1) × π
    0.4752197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49294680176703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17218934} λ = -0.17218934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49294680176703))-π/2
    2×atan(4.45019004392846)-π/2
    2×1.34975839937779-π/2
    2.69951679875559-1.57079632675     		φ = 1.12872047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17218934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12872047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.670919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15486 KachelY 8598 -0.17218934 1.12872047 -9.865722 64.670919
    Oben rechts KachelX + 1 15487 KachelY 8598 -0.17199760 1.12872047 -9.854737 64.670919
    Unten links KachelX 15486 KachelY + 1 8599 -0.17218934 1.12863843 -9.865722 64.666219
    Unten rechts KachelX + 1 15487 KachelY + 1 8599 -0.17199760 1.12863843 -9.854737 64.666219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12872047-1.12863843) × R
    8.20399999998944e-05 × 6371000     		dl = 522.676839999327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12872047-1.12863843) × R
    8.20399999998944e-05 × 6371000     		dr = 522.676839999327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17218934--0.17199760) × cos(1.12872047) × R
    0.000191739999999996 × 0.427816680880031 × 6371000     		do = 522.61039296702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17218934--0.17199760) × cos(1.12863843) × R
    0.000191739999999996 × 0.427890832567908 × 6371000     		du = 522.70097485518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12872047)-sin(1.12863843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427816680880031-0.427890832567908)×R²
    abs(-0.17199760--0.17218934)×7.41516878770554e-05×R²
    0.000191739999999996×7.41516878770554e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.41516878770554e-05×40589641000000     		ar = 273180.021427513m²