Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15486 / 8594
↖ ↑ ↗
← N 64.689713°
W  9.865722°		 ← 522.25 m → N 64.689713°
W  9.854737°		 →
↑
522.29 m
↓
↑
522.29 m
↓
N 64.685016°
W  9.865722°		 ← 522.34 m →
272 791 m²		 N 64.685016°
W  9.854737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472610473632812 y=0.262283325195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472610473632812 × 215)
    floor (0.472610473632812 × 32768)
    floor (15486.5)     		tx = 15486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262283325195312 × 215)
    floor (0.262283325195312 × 32768)
    floor (8594.5)     		ty = 8594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15486 / 8594 ti = "15/15486/8594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15486/8594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15486 ÷ 215
    15486 ÷ 32768     		x = 0.47259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8594 ÷ 215
    8594 ÷ 32768     		y = 0.26226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.0548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17218934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26226806640625 × 2 - 1) × π
    0.4754638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49371379216095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17218934} λ = -0.17218934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49371379216095))-π/2
    2×atan(4.45360460624413)-π/2
    2×1.34992240815985-π/2
    2.6998448163197-1.57079632675     		φ = 1.12904849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17218934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.865722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12904849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.689713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15486 KachelY 8594 -0.17218934 1.12904849 -9.865722 64.689713
    Oben rechts KachelX + 1 15487 KachelY 8594 -0.17199760 1.12904849 -9.854737 64.689713
    Unten links KachelX 15486 KachelY + 1 8595 -0.17218934 1.12896651 -9.865722 64.685016
    Unten rechts KachelX + 1 15487 KachelY + 1 8595 -0.17199760 1.12896651 -9.854737 64.685016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12904849-1.12896651) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dl = 522.294580000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12904849-1.12896651) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dr = 522.294580000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17218934--0.17199760) × cos(1.12904849) × R
    0.000191739999999996 × 0.427520171899866 × 6371000     		do = 522.24818484946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17218934--0.17199760) × cos(1.12896651) × R
    0.000191739999999996 × 0.427594280859379 × 6371000     		du = 522.338714541696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12904849)-sin(1.12896651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427520171899866-0.427594280859379)×R²
    abs(-0.17199760--0.17218934)×7.41089595130973e-05×R²
    0.000191739999999996×7.41089595130973e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.41089595130973e-05×40589641000000     		ar = 272791.038098052m²