Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15485 / 8573
↖ ↑ ↗
← N 64.788168°
W  9.876709°		 ← 520.38 m → N 64.788168°
W  9.865722°		 →
↑
520.38 m
↓
↑
520.38 m
↓
N 64.783488°
W  9.876709°		 ← 520.47 m →
270 819 m²		 N 64.783488°
W  9.865722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472579956054688 y=0.261642456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472579956054688 × 215)
    floor (0.472579956054688 × 32768)
    floor (15485.5)     		tx = 15485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261642456054688 × 215)
    floor (0.261642456054688 × 32768)
    floor (8573.5)     		ty = 8573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15485 / 8573 ti = "15/15485/8573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15485/8573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15485 ÷ 215
    15485 ÷ 32768     		x = 0.472564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8573 ÷ 215
    8573 ÷ 32768     		y = 0.261627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472564697265625 × 2 - 1) × π
    -0.05487060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17238109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261627197265625 × 2 - 1) × π
    0.47674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49774049172903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17238109} λ = -0.17238109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49774049172903))-π/2
    2×atan(4.47157408856163)-π/2
    2×1.35078159065298-π/2
    2.70156318130595-1.57079632675     		φ = 1.13076685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17238109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13076685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.788168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15485 KachelY 8573 -0.17238109 1.13076685 -9.876709 64.788168
    Oben rechts KachelX + 1 15486 KachelY 8573 -0.17218934 1.13076685 -9.865722 64.788168
    Unten links KachelX 15485 KachelY + 1 8574 -0.17238109 1.13068517 -9.876709 64.783488
    Unten rechts KachelX + 1 15486 KachelY + 1 8574 -0.17218934 1.13068517 -9.865722 64.783488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13076685-1.13068517) × R
    8.16800000000839e-05 × 6371000     		dl = 520.383280000535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13076685-1.13068517) × R
    8.16800000000839e-05 × 6371000     		dr = 520.383280000535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17238109--0.17218934) × cos(1.13076685) × R
    0.000191749999999991 × 0.425966134060159 × 6371000     		do = 520.376948538627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17238109--0.17218934) × cos(1.13068517) × R
    0.000191749999999991 × 0.426040031729435 × 6371000     		du = 520.467224831897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13076685)-sin(1.13068517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425966134060159-0.426040031729435)×R²
    abs(-0.17218934--0.17238109)×7.38976692756244e-05×R²
    0.000191749999999991×7.38976692756244e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.38976692756244e-05×40589641000000     		ar = 270818.95260435m²