Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15484 / 7814
↖ ↑ ↗
← N 68.114294°
W  9.887695°		 ← 455.37 m → N 68.114294°
W  9.876709°		 →
↑
455.40 m
↓
↑
455.40 m
↓
N 68.110198°
W  9.887695°		 ← 455.45 m →
207 395 m²		 N 68.110198°
W  9.876709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472549438476562 y=0.238479614257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472549438476562 × 215)
    floor (0.472549438476562 × 32768)
    floor (15484.5)     		tx = 15484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238479614257812 × 215)
    floor (0.238479614257812 × 32768)
    floor (7814.5)     		ty = 7814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15484 / 7814 ti = "15/15484/7814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15484/7814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15484 ÷ 215
    15484 ÷ 32768     		x = 0.4725341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7814 ÷ 215
    7814 ÷ 32768     		y = 0.23846435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17257284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23846435546875 × 2 - 1) × π
    0.5230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64327691897552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17257284} λ = -0.17257284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64327691897552))-π/2
    2×atan(5.17209029390508)-π/2
    2×1.37980750733566-π/2
    2.75961501467132-1.57079632675     		φ = 1.18881869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17257284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.887695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18881869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.114294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15484 KachelY 7814 -0.17257284 1.18881869 -9.887695 68.114294
    Oben rechts KachelX + 1 15485 KachelY 7814 -0.17238109 1.18881869 -9.876709 68.114294
    Unten links KachelX 15484 KachelY + 1 7815 -0.17257284 1.18874721 -9.887695 68.110198
    Unten rechts KachelX + 1 15485 KachelY + 1 7815 -0.17238109 1.18874721 -9.876709 68.110198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18881869-1.18874721) × R
    7.14799999999016e-05 × 6371000     		dl = 455.399079999373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18881869-1.18874721) × R
    7.14799999999016e-05 × 6371000     		dr = 455.399079999373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17257284--0.17238109) × cos(1.18881869) × R
    0.000191750000000018 × 0.37275630422576 × 6371000     		do = 455.373731927172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17257284--0.17238109) × cos(1.18874721) × R
    0.000191750000000018 × 0.372822631657934 × 6371000     		du = 455.454760121668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18881869)-sin(1.18874721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37275630422576-0.372822631657934)×R²
    abs(-0.17238109--0.17257284)×6.63274321746066e-05×R²
    0.000191750000000018×6.63274321746066e-05×6371000²
    0.000191750000000018×6.63274321746066e-05×40589641000000     		ar = 207395.22874668m²