Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15483 / 7815
↖ ↑ ↗
← N 68.110198°
W  9.898682°		 ← 455.45 m → N 68.110198°
W  9.887695°		 →
↑
455.53 m
↓
↑
455.53 m
↓
N 68.106101°
W  9.898682°		 ← 455.54 m →
207 490 m²		 N 68.106101°
W  9.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472518920898438 y=0.238510131835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472518920898438 × 215)
    floor (0.472518920898438 × 32768)
    floor (15483.5)     		tx = 15483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.238510131835938 × 215)
    floor (0.238510131835938 × 32768)
    floor (7815.5)     		ty = 7815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15483 / 7815 ti = "15/15483/7815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15483/7815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15483 ÷ 215
    15483 ÷ 32768     		x = 0.472503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7815 ÷ 215
    7815 ÷ 32768     		y = 0.238494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.05499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17276459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238494873046875 × 2 - 1) × π
    0.52301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.64308517137704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17276459} λ = -0.17276459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64308517137704))-π/2
    2×atan(5.17109865308751)-π/2
    2×1.37977176659288-π/2
    2.75954353318575-1.57079632675     		φ = 1.18874721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17276459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18874721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.110198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15483 KachelY 7815 -0.17276459 1.18874721 -9.898682 68.110198
    Oben rechts KachelX + 1 15484 KachelY 7815 -0.17257284 1.18874721 -9.887695 68.110198
    Unten links KachelX 15483 KachelY + 1 7816 -0.17276459 1.18867571 -9.898682 68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 15484 KachelY + 1 7816 -0.17257284 1.18867571 -9.887695 68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18874721-1.18867571) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dl = 455.526500000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18874721-1.18867571) × R
    7.15000000000021e-05 × 6371000     		dr = 455.526500000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17276459--0.17257284) × cos(1.18874721) × R
    0.000191749999999991 × 0.372822631657934 × 6371000     		do = 455.454760121602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17276459--0.17257284) × cos(1.18867571) × R
    0.000191749999999991 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 455.535808659597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18874721)-sin(1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372822631657934-0.372888975742732)×R²
    abs(-0.17257284--0.17276459)×6.63440847977204e-05×R²
    0.000191749999999991×6.63440847977204e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.63440847977204e-05×40589641000000     		ar = 207490.172753172m²