Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15482 / 3210
↖ ↑ ↗
← N 73.163173°
E160.180664°		 ← 707.67 m → N 73.163173°
E160.202637°		 →
↑
707.75 m
↓
↑
707.75 m
↓
N 73.156808°
E160.180664°		 ← 707.93 m →
500 948 m²		 N 73.156808°
E160.202637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944976806640625 y=0.195953369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944976806640625 × 214)
    floor (0.944976806640625 × 16384)
    floor (15482.5)     		tx = 15482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195953369140625 × 214)
    floor (0.195953369140625 × 16384)
    floor (3210.5)     		ty = 3210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15482 / 3210 ti = "14/15482/3210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15482/3210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15482 ÷ 214
    15482 ÷ 16384     		x = 0.9449462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3210 ÷ 214
    3210 ÷ 16384     		y = 0.1959228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9449462890625 × 2 - 1) × π
    0.889892578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79567999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1959228515625 × 2 - 1) × π
    0.608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91057307125696
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79567999} λ = 2.79567999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91057307125696))-π/2
    2×atan(6.75695990872246)-π/2
    2×1.42386729529431-π/2
    2.84773459058862-1.57079632675     		φ = 1.27693826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79567999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27693826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.163173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15482 KachelY 3210 2.79567999 1.27693826 160.180664 73.163173
    Oben rechts KachelX + 1 15483 KachelY 3210 2.79606348 1.27693826 160.202637 73.163173
    Unten links KachelX 15482 KachelY + 1 3211 2.79567999 1.27682717 160.180664 73.156808
    Unten rechts KachelX + 1 15483 KachelY + 1 3211 2.79606348 1.27682717 160.202637 73.156808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27693826-1.27682717) × R
    0.000111090000000091 × 6371000     		dl = 707.754390000582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27693826-1.27682717) × R
    0.000111090000000091 × 6371000     		dr = 707.754390000582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79567999-2.79606348) × cos(1.27693826) × R
    0.000383489999999931 × 0.289647056660048 × 6371000     		do = 707.66997271167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79567999-2.79606348) × cos(1.27682717) × R
    0.000383489999999931 × 0.289753382835734 × 6371000     		du = 707.929750396669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27693826)-sin(1.27682717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289647056660048-0.289753382835734)×R²
    abs(2.79606348-2.79567999)×0.000106326175685678×R²
    0.000383489999999931×0.000106326175685678×6371000²
    0.000383489999999931×0.000106326175685678×40589641000000     		ar = 500948.459773098m²