Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15481 / 7067
↖ ↑ ↗
← N 70.977609°
W  9.920654°		 ← 398.18 m → N 70.977609°
W  9.909668°		 →
↑
398.19 m
↓
↑
398.19 m
↓
N 70.974028°
W  9.920654°		 ← 398.25 m →
158 564 m²		 N 70.974028°
W  9.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472457885742188 y=0.215682983398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472457885742188 × 215)
    floor (0.472457885742188 × 32768)
    floor (15481.5)     		tx = 15481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215682983398438 × 215)
    floor (0.215682983398438 × 32768)
    floor (7067.5)     		ty = 7067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15481 / 7067 ti = "15/15481/7067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15481/7067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15481 ÷ 215
    15481 ÷ 32768     		x = 0.472442626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7067 ÷ 215
    7067 ÷ 32768     		y = 0.215667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.05511474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17314808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215667724609375 × 2 - 1) × π
    0.56866455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78651237504025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17314808} λ = -0.17314808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78651237504025))-π/2
    2×atan(5.96859988659175)-π/2
    2×1.40479465449895-π/2
    2.80958930899791-1.57079632675     		φ = 1.23879298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17314808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.920654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23879298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.977609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15481 KachelY 7067 -0.17314808 1.23879298 -9.920654 70.977609
    Oben rechts KachelX + 1 15482 KachelY 7067 -0.17295633 1.23879298 -9.909668 70.977609
    Unten links KachelX 15481 KachelY + 1 7068 -0.17314808 1.23873048 -9.920654 70.974028
    Unten rechts KachelX + 1 15482 KachelY + 1 7068 -0.17295633 1.23873048 -9.909668 70.974028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23879298-1.23873048) × R
    6.24999999998543e-05 × 6371000     		dl = 398.187499999072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23879298-1.23873048) × R
    6.24999999998543e-05 × 6371000     		dr = 398.187499999072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17314808--0.17295633) × cos(1.23879298) × R
    0.000191750000000018 × 0.325937627767215 × 6371000     		do = 398.178199132357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17314808--0.17295633) × cos(1.23873048) × R
    0.000191750000000018 × 0.325996714085265 × 6371000     		du = 398.250381297626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23879298)-sin(1.23873048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325937627767215-0.325996714085265)×R²
    abs(-0.17295633--0.17314808)×5.90863180506274e-05×R²
    0.000191750000000018×5.90863180506274e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.90863180506274e-05×40589641000000     		ar = 158563.952736133m²