Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15481 / 3207
↖ ↑ ↗
← N 73.182256°
E160.158691°		 ← 706.91 m → N 73.182256°
E160.180664°		 →
↑
707.05 m
↓
↑
707.05 m
↓
N 73.175897°
E160.158691°		 ← 707.17 m →
499 915 m²		 N 73.175897°
E160.180664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944915771484375 y=0.195770263671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944915771484375 × 214)
    floor (0.944915771484375 × 16384)
    floor (15481.5)     		tx = 15481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195770263671875 × 214)
    floor (0.195770263671875 × 16384)
    floor (3207.5)     		ty = 3207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15481 / 3207 ti = "14/15481/3207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15481/3207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15481 ÷ 214
    15481 ÷ 16384     		x = 0.94488525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3207 ÷ 214
    3207 ÷ 16384     		y = 0.19573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94488525390625 × 2 - 1) × π
    0.8897705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.79529649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19573974609375 × 2 - 1) × π
    0.6085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91172355684784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79529649} λ = 2.79529649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91172355684784))-π/2
    2×atan(6.76473816726484)-π/2
    2×1.42403382096848-π/2
    2.84806764193696-1.57079632675     		φ = 1.27727132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79529649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.158691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27727132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.182256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15481 KachelY 3207 2.79529649 1.27727132 160.158691 73.182256
    Oben rechts KachelX + 1 15482 KachelY 3207 2.79567999 1.27727132 160.180664 73.182256
    Unten links KachelX 15481 KachelY + 1 3208 2.79529649 1.27716034 160.158691 73.175897
    Unten rechts KachelX + 1 15482 KachelY + 1 3208 2.79567999 1.27716034 160.180664 73.175897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27727132-1.27716034) × R
    0.000110980000000094 × 6371000     		dl = 707.053580000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27727132-1.27716034) × R
    0.000110980000000094 × 6371000     		dr = 707.053580000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79529649-2.79567999) × cos(1.27727132) × R
    0.00038349999999987 × 0.289328257709349 × 6371000     		do = 706.909511503472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79529649-2.79567999) × cos(1.27716034) × R
    0.00038349999999987 × 0.289434489306181 × 6371000     		du = 707.169064880031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27727132)-sin(1.27716034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289328257709349-0.289434489306181)×R²
    abs(2.79567999-2.79529649)×0.000106231596831707×R²
    0.00038349999999987×0.000106231596831707×6371000²
    0.00038349999999987×0.000106231596831707×40589641000000     		ar = 499914.660429182m²