Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15480 / 8808
↖ ↑ ↗
← N 63.665760°
W  9.931641°		 ← 541.93 m → N 63.665760°
W  9.920654°		 →
↑
541.98 m
↓
↑
541.98 m
↓
N 63.660886°
W  9.931641°		 ← 542.02 m →
293 740 m²		 N 63.660886°
W  9.920654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472427368164062 y=0.268814086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472427368164062 × 215)
    floor (0.472427368164062 × 32768)
    floor (15480.5)     		tx = 15480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268814086914062 × 215)
    floor (0.268814086914062 × 32768)
    floor (8808.5)     		ty = 8808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15480 / 8808 ti = "15/15480/8808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15480/8808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15480 ÷ 215
    15480 ÷ 32768     		x = 0.472412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8808 ÷ 215
    8808 ÷ 32768     		y = 0.268798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472412109375 × 2 - 1) × π
    -0.05517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17333983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268798828125 × 2 - 1) × π
    0.46240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45267980608618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17333983} λ = -0.17333983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45267980608618))-π/2
    2×atan(4.27455415655695)-π/2
    2×1.34098673272825-π/2
    2.6819734654565-1.57079632675     		φ = 1.11117714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17333983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.931641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11117714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.665760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15480 KachelY 8808 -0.17333983 1.11117714 -9.931641 63.665760
    Oben rechts KachelX + 1 15481 KachelY 8808 -0.17314808 1.11117714 -9.920654 63.665760
    Unten links KachelX 15480 KachelY + 1 8809 -0.17333983 1.11109207 -9.931641 63.660886
    Unten rechts KachelX + 1 15481 KachelY + 1 8809 -0.17314808 1.11109207 -9.920654 63.660886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11117714-1.11109207) × R
    8.50699999999094e-05 × 6371000     		dl = 541.980969999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11117714-1.11109207) × R
    8.50699999999094e-05 × 6371000     		dr = 541.980969999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17333983--0.17314808) × cos(1.11117714) × R
    0.000191749999999991 × 0.443606846159856 × 6371000     		do = 541.927534837565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17333983--0.17314808) × cos(1.11109207) × R
    0.000191749999999991 × 0.443683086117076 × 6371000     		du = 542.020672561723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11117714)-sin(1.11109207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443606846159856-0.443683086117076)×R²
    abs(-0.17314808--0.17333983)×7.62399572196149e-05×R²
    0.000191749999999991×7.62399572196149e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.62399572196149e-05×40589641000000     		ar = 293739.650614976m²