Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15479 / 3209
↖ ↑ ↗
← N 73.169536°
E160.114746°		 ← 707.43 m → N 73.169536°
E160.136719°		 →
↑
707.56 m
↓
↑
707.56 m
↓
N 73.163173°
E160.114746°		 ← 707.69 m →
500 642 m²		 N 73.163173°
E160.136719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944793701171875 y=0.195892333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944793701171875 × 214)
    floor (0.944793701171875 × 16384)
    floor (15479.5)     		tx = 15479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195892333984375 × 214)
    floor (0.195892333984375 × 16384)
    floor (3209.5)     		ty = 3209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15479 / 3209 ti = "14/15479/3209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15479/3209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15479 ÷ 214
    15479 ÷ 16384     		x = 0.94476318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3209 ÷ 214
    3209 ÷ 16384     		y = 0.19586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94476318359375 × 2 - 1) × π
    0.8895263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79452950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19586181640625 × 2 - 1) × π
    0.6082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91095656645392
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79452950} λ = 2.79452950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91095656645392))-π/2
    2×atan(6.75955166732523)-π/2
    2×1.42392282422928-π/2
    2.84784564845856-1.57079632675     		φ = 1.27704932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79452950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.114746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27704932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.169536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15479 KachelY 3209 2.79452950 1.27704932 160.114746 73.169536
    Oben rechts KachelX + 1 15480 KachelY 3209 2.79491300 1.27704932 160.136719 73.169536
    Unten links KachelX 15479 KachelY + 1 3210 2.79452950 1.27693826 160.114746 73.163173
    Unten rechts KachelX + 1 15480 KachelY + 1 3210 2.79491300 1.27693826 160.136719 73.163173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27704932-1.27693826) × R
    0.00011105999999983 × 6371000     		dl = 707.563259998915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27704932-1.27693826) × R
    0.00011105999999983 × 6371000     		dr = 707.563259998915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79452950-2.79491300) × cos(1.27704932) × R
    0.000383500000000314 × 0.289540755624803 × 6371000     		do = 707.428703092414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79452950-2.79491300) × cos(1.27693826) × R
    0.000383500000000314 × 0.289647056660048 × 6371000     		du = 707.688426126357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27704932)-sin(1.27693826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289540755624803-0.289647056660048)×R²
    abs(2.79491300-2.79452950)×0.000106301035245615×R²
    0.000383500000000314×0.000106301035245615×6371000²
    0.000383500000000314×0.000106301035245615×40589641000000     		ar = 500642.445129705m²