Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15475 / 19210
↖ ↑ ↗
← S 29.630771°
W  9.986572°		 ← 1 061.88 m → S 29.630771°
W  9.975586°		 →
↑
1 061.79 m
↓
↑
1 061.79 m
↓
S 29.640320°
W  9.986572°		 ← 1 061.78 m →
1 127 446 m²		 S 29.640320°
W  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472274780273438 y=0.586257934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472274780273438 × 215)
    floor (0.472274780273438 × 32768)
    floor (15475.5)     		tx = 15475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586257934570312 × 215)
    floor (0.586257934570312 × 32768)
    floor (19210.5)     		ty = 19210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15475 / 19210 ti = "15/15475/19210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15475/19210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15475 ÷ 215
    15475 ÷ 32768     		x = 0.472259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19210 ÷ 215
    19210 ÷ 32768     		y = 0.58624267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.05548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17429857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58624267578125 × 2 - 1) × π
    -0.1724853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.541878713305115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17429857} λ = -0.17429857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.541878713305115))-π/2
    2×atan(0.581654463258521)-π/2
    2×0.526820904668539-π/2
    1.05364180933708-1.57079632675     		φ = -0.51715452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17429857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.986572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51715452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.630771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15475 KachelY 19210 -0.17429857 -0.51715452 -9.986572 -29.630771
    Oben rechts KachelX + 1 15476 KachelY 19210 -0.17410682 -0.51715452 -9.975586 -29.630771
    Unten links KachelX 15475 KachelY + 1 19211 -0.17429857 -0.51732118 -9.986572 -29.640320
    Unten rechts KachelX + 1 15476 KachelY + 1 19211 -0.17410682 -0.51732118 -9.975586 -29.640320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51715452--0.51732118) × R
    0.000166660000000096 × 6371000     		dl = 1061.79086000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51715452--0.51732118) × R
    0.000166660000000096 × 6371000     		dr = 1061.79086000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17429857--0.17410682) × cos(-0.51715452) × R
    0.000191750000000018 × 0.869229527006441 × 6371000     		do = 1061.8849074501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17429857--0.17410682) × cos(-0.51732118) × R
    0.000191750000000018 × 0.869147116769964 × 6371000     		du = 1061.78423187062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51715452)-sin(-0.51732118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869229527006441-0.869147116769964)×R²
    abs(-0.17410682--0.17429857)×8.24102364764823e-05×R²
    0.000191750000000018×8.24102364764823e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.24102364764823e-05×40589641000000     		ar = 1127446.24350758m²