Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15474 / 10116
↖ ↑ ↗
← N 56.535258°
W  9.997558°		 ← 673.61 m → N 56.535258°
W  9.986572°		 →
↑
673.67 m
↓
↑
673.67 m
↓
N 56.529199°
W  9.997558°		 ← 673.71 m →
453 824 m²		 N 56.529199°
W  9.986572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472244262695312 y=0.308731079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472244262695312 × 215)
    floor (0.472244262695312 × 32768)
    floor (15474.5)     		tx = 15474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308731079101562 × 215)
    floor (0.308731079101562 × 32768)
    floor (10116.5)     		ty = 10116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15474 / 10116 ti = "15/15474/10116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15474/10116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15474 ÷ 215
    15474 ÷ 32768     		x = 0.47222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10116 ÷ 215
    10116 ÷ 32768     		y = 0.3087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3087158203125 × 2 - 1) × π
    0.382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20187394727405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17449031} λ = -0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20187394727405))-π/2
    2×atan(3.326344480028)-π/2
    2×1.27876135896105-π/2
    2.55752271792209-1.57079632675     		φ = 0.98672639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98672639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.535258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15474 KachelY 10116 -0.17449031 0.98672639 -9.997558 56.535258
    Oben rechts KachelX + 1 15475 KachelY 10116 -0.17429857 0.98672639 -9.986572 56.535258
    Unten links KachelX 15474 KachelY + 1 10117 -0.17449031 0.98662065 -9.997558 56.529199
    Unten rechts KachelX + 1 15475 KachelY + 1 10117 -0.17429857 0.98662065 -9.986572 56.529199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98672639-0.98662065) × R
    0.000105739999999965 × 6371000     		dl = 673.669539999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98672639-0.98662065) × R
    0.000105739999999965 × 6371000     		dr = 673.669539999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17449031--0.17429857) × cos(0.98672639) × R
    0.000191739999999996 × 0.551423738676219 × 6371000     		do = 673.605751342206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17449031--0.17429857) × cos(0.98662065) × R
    0.000191739999999996 × 0.551511946577143 × 6371000     		du = 673.71350395641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98672639)-sin(0.98662065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551423738676219-0.551511946577143)×R²
    abs(-0.17429857--0.17449031)×8.8207900924675e-05×R²
    0.000191739999999996×8.8207900924675e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.8207900924675e-05×40589641000000     		ar = 453823.971898379m²