Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15473 / 19433
↖ ↑ ↗
← S 31.737511°
W 10.008545°		 ← 1 038.96 m → S 31.737511°
W  9.997558°		 →
↑
1 038.86 m
↓
↑
1 038.86 m
↓
S 31.746854°
W 10.008545°		 ← 1 038.86 m →
1 079 279 m²		 S 31.746854°
W  9.997558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472213745117188 y=0.593063354492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472213745117188 × 215)
    floor (0.472213745117188 × 32768)
    floor (15473.5)     		tx = 15473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593063354492188 × 215)
    floor (0.593063354492188 × 32768)
    floor (19433.5)     		ty = 19433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15473 / 19433 ti = "15/15473/19433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15473/19433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15473 ÷ 215
    15473 ÷ 32768     		x = 0.472198486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19433 ÷ 215
    19433 ÷ 32768     		y = 0.593048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.05560302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17468206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593048095703125 × 2 - 1) × π
    -0.18609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584638427766205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17468206} λ = -0.17468206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584638427766205))-π/2
    2×atan(0.557307332243952)-π/2
    2×0.508436130638762-π/2
    1.01687226127752-1.57079632675     		φ = -0.55392407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17468206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.008545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55392407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.737511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15473 KachelY 19433 -0.17468206 -0.55392407 -10.008545 -31.737511
    Oben rechts KachelX + 1 15474 KachelY 19433 -0.17449031 -0.55392407 -9.997558 -31.737511
    Unten links KachelX 15473 KachelY + 1 19434 -0.17468206 -0.55408713 -10.008545 -31.746854
    Unten rechts KachelX + 1 15474 KachelY + 1 19434 -0.17449031 -0.55408713 -9.997558 -31.746854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55392407--0.55408713) × R
    0.000163059999999993 × 6371000     		dl = 1038.85525999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55392407--0.55408713) × R
    0.000163059999999993 × 6371000     		dr = 1038.85525999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17468206--0.17449031) × cos(-0.55392407) × R
    0.000191749999999991 × 0.850466902332326 × 6371000     		do = 1038.96374871504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17468206--0.17449031) × cos(-0.55408713) × R
    0.000191749999999991 × 0.85038111680904 × 6371000     		du = 1038.85894975271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55392407)-sin(-0.55408713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850466902332326-0.85038111680904)×R²
    abs(-0.17449031--0.17468206)×8.5785523285864e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5785523285864e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5785523285864e-05×40589641000000     		ar = 1079278.52221626m²