Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15472 / 3184
↖ ↑ ↗
← N 73.327858°
E159.960937°		 ← 700.96 m → N 73.327858°
E159.982910°		 →
↑
701.13 m
↓
↑
701.13 m
↓
N 73.321553°
E159.960937°		 ← 701.22 m →
491 556 m²		 N 73.321553°
E159.982910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944366455078125 y=0.194366455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944366455078125 × 214)
    floor (0.944366455078125 × 16384)
    floor (15472.5)     		tx = 15472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194366455078125 × 214)
    floor (0.194366455078125 × 16384)
    floor (3184.5)     		ty = 3184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15472 / 3184 ti = "14/15472/3184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15472/3184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15472 ÷ 214
    15472 ÷ 16384     		x = 0.9443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3184 ÷ 214
    3184 ÷ 16384     		y = 0.1943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    0.888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79184503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1943359375 × 2 - 1) × π
    0.611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92054394637793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79184503} λ = 2.79184503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92054394637793))-π/2
    2×atan(6.82466971421174)-π/2
    2×1.42530444201577-π/2
    2.85060888403154-1.57079632675     		φ = 1.27981256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79184503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27981256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.327858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15472 KachelY 3184 2.79184503 1.27981256 159.960937 73.327858
    Oben rechts KachelX + 1 15473 KachelY 3184 2.79222853 1.27981256 159.982910 73.327858
    Unten links KachelX 15472 KachelY + 1 3185 2.79184503 1.27970251 159.960937 73.321553
    Unten rechts KachelX + 1 15473 KachelY + 1 3185 2.79222853 1.27970251 159.982910 73.321553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27981256-1.27970251) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dl = 701.128550001241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27981256-1.27970251) × R
    0.000110050000000195 × 6371000     		dr = 701.128550001241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79184503-2.79222853) × cos(1.27981256) × R
    0.00038349999999987 × 0.286894775087066 × 6371000     		do = 700.963835732326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79184503-2.79222853) × cos(1.27970251) × R
    0.00038349999999987 × 0.287000197078838 × 6371000     		du = 701.221411018251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27981256)-sin(1.27970251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286894775087066-0.287000197078838)×R²
    abs(2.79222853-2.79184503)×0.000105421991772547×R²
    0.00038349999999987×0.000105421991772547×6371000²
    0.00038349999999987×0.000105421991772547×40589641000000     		ar = 491556.054939289m²