Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15470 / 19254
↖ ↑ ↗
← S 30.050077°
W 10.041504°		 ← 1 057.44 m → S 30.050077°
W 10.030518°		 →
↑
1 057.33 m
↓
↑
1 057.33 m
↓
S 30.059586°
W 10.041504°		 ← 1 057.33 m →
1 118 007 m²		 S 30.059586°
W 10.030518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472122192382812 y=0.587600708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472122192382812 × 215)
    floor (0.472122192382812 × 32768)
    floor (15470.5)     		tx = 15470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587600708007812 × 215)
    floor (0.587600708007812 × 32768)
    floor (19254.5)     		ty = 19254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15470 / 19254 ti = "15/15470/19254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15470/19254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15470 ÷ 215
    15470 ÷ 32768     		x = 0.47210693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19254 ÷ 215
    19254 ÷ 32768     		y = 0.58758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.0557861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17525731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17525731} λ = -0.17525731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550315607638245))-π/2
    2×atan(0.576767749344885)-π/2
    2×0.523161775514312-π/2
    1.04632355102862-1.57079632675     		φ = -0.52447278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17525731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.041504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52447278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.050077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15470 KachelY 19254 -0.17525731 -0.52447278 -10.041504 -30.050077
    Oben rechts KachelX + 1 15471 KachelY 19254 -0.17506556 -0.52447278 -10.030518 -30.050077
    Unten links KachelX 15470 KachelY + 1 19255 -0.17525731 -0.52463874 -10.041504 -30.059586
    Unten rechts KachelX + 1 15471 KachelY + 1 19255 -0.17506556 -0.52463874 -10.030518 -30.059586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52447278--0.52463874) × R
    0.000165960000000021 × 6371000     		dl = 1057.33116000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52447278--0.52463874) × R
    0.000165960000000021 × 6371000     		dr = 1057.33116000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17525731--0.17506556) × cos(-0.52447278) × R
    0.000191749999999991 × 0.865588070867903 × 6371000     		do = 1057.43636170396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17525731--0.17506556) × cos(-0.52463874) × R
    0.000191749999999991 × 0.865504953362883 × 6371000     		du = 1057.33482209746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52447278)-sin(-0.52463874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865588070867903-0.865504953362883)×R²
    abs(-0.17506556--0.17525731)×8.31175050206578e-05×R²
    0.000191749999999991×8.31175050206578e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.31175050206578e-05×40589641000000     		ar = 1118006.7370177m²