Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15468 / 3116
↖ ↑ ↗
← N 73.751205°
E159.873047°		 ← 683.65 m → N 73.751205°
E159.895020°		 →
↑
683.74 m
↓
↑
683.74 m
↓
N 73.745056°
E159.873047°		 ← 683.90 m →
467 523 m²		 N 73.745056°
E159.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.944122314453125 y=0.190216064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.944122314453125 × 214)
    floor (0.944122314453125 × 16384)
    floor (15468.5)     		tx = 15468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.190216064453125 × 214)
    floor (0.190216064453125 × 16384)
    floor (3116.5)     		ty = 3116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15468 / 3116 ti = "14/15468/3116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15468/3116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15468 ÷ 214
    15468 ÷ 16384     		x = 0.944091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3116 ÷ 214
    3116 ÷ 16384     		y = 0.190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.944091796875 × 2 - 1) × π
    0.88818359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.79031105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.190185546875 × 2 - 1) × π
    0.61962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.94662161977124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79031105} λ = 2.79031105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94662161977124))-π/2
    2×atan(7.00498206709876)-π/2
    2×1.42899884408204-π/2
    2.85799768816408-1.57079632675     		φ = 1.28720136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79031105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.873047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28720136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.751205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15468 KachelY 3116 2.79031105 1.28720136 159.873047 73.751205
    Oben rechts KachelX + 1 15469 KachelY 3116 2.79069455 1.28720136 159.895020 73.751205
    Unten links KachelX 15468 KachelY + 1 3117 2.79031105 1.28709404 159.873047 73.745056
    Unten rechts KachelX + 1 15469 KachelY + 1 3117 2.79069455 1.28709404 159.895020 73.745056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28720136-1.28709404) × R
    0.000107320000000133 × 6371000     		dl = 683.735720000847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28720136-1.28709404) × R
    0.000107320000000133 × 6371000     		dr = 683.735720000847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79031105-2.79069455) × cos(1.28720136) × R
    0.00038349999999987 × 0.279808817732291 × 6371000     		do = 683.650868475495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79031105-2.79069455) × cos(1.28709404) × R
    0.00038349999999987 × 0.27991184930284 × 6371000     		du = 683.902603296638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28720136)-sin(1.28709404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.279808817732291-0.27991184930284)×R²
    abs(2.79069455-2.79031105)×0.000103031570548751×R²
    0.00038349999999987×0.000103031570548751×6371000²
    0.00038349999999987×0.000103031570548751×40589641000000     		ar = 467522.579280446m²