Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15468 / 10212
↖ ↑ ↗
← N 55.949200°
W 10.063477°		 ← 684.03 m → N 55.949200°
W 10.052490°		 →
↑
684.05 m
↓
↑
684.05 m
↓
N 55.943048°
W 10.063477°		 ← 684.14 m →
467 951 m²		 N 55.943048°
W 10.052490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472061157226562 y=0.311660766601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472061157226562 × 215)
    floor (0.472061157226562 × 32768)
    floor (15468.5)     		tx = 15468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311660766601562 × 215)
    floor (0.311660766601562 × 32768)
    floor (10212.5)     		ty = 10212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15468 / 10212 ti = "15/15468/10212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15468/10212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15468 ÷ 215
    15468 ÷ 32768     		x = 0.4720458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10212 ÷ 215
    10212 ÷ 32768     		y = 0.3116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4720458984375 × 2 - 1) × π
    -0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3116455078125 × 2 - 1) × π
    0.376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18346617781995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17564080} λ = -0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18346617781995))-π/2
    2×atan(3.26567401483494)-π/2
    2×1.27364703877497-π/2
    2.54729407754995-1.57079632675     		φ = 0.97649775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97649775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.949200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15468 KachelY 10212 -0.17564080 0.97649775 -10.063477 55.949200
    Oben rechts KachelX + 1 15469 KachelY 10212 -0.17544905 0.97649775 -10.052490 55.949200
    Unten links KachelX 15468 KachelY + 1 10213 -0.17564080 0.97639038 -10.063477 55.943048
    Unten rechts KachelX + 1 15469 KachelY + 1 10213 -0.17544905 0.97639038 -10.052490 55.943048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97649775-0.97639038) × R
    0.000107370000000051 × 6371000     		dl = 684.054270000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97649775-0.97639038) × R
    0.000107370000000051 × 6371000     		dr = 684.054270000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17564080--0.17544905) × cos(0.97649775) × R
    0.000191750000000018 × 0.559927734088408 × 6371000     		do = 684.029697126028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17564080--0.17544905) × cos(0.97639038) × R
    0.000191750000000018 × 0.560016691356097 × 6371000     		du = 684.138370815809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97649775)-sin(0.97639038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559927734088408-0.560016691356097)×R²
    abs(-0.17544905--0.17564080)×8.89572676887607e-05×R²
    0.000191750000000018×8.89572676887607e-05×6371000²
    0.000191750000000018×8.89572676887607e-05×40589641000000     		ar = 467950.604926448m²