Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15467 / 19436
↖ ↑ ↗
← S 31.765538°
W 10.074463°		 ← 1 038.65 m → S 31.765538°
W 10.063477°		 →
↑
1 038.54 m
↓
↑
1 038.54 m
↓
S 31.774877°
W 10.074463°		 ← 1 038.54 m →
1 078 621 m²		 S 31.774877°
W 10.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472030639648438 y=0.593154907226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472030639648438 × 215)
    floor (0.472030639648438 × 32768)
    floor (15467.5)     		tx = 15467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593154907226562 × 215)
    floor (0.593154907226562 × 32768)
    floor (19436.5)     		ty = 19436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15467 / 19436 ti = "15/15467/19436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15467/19436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15467 ÷ 215
    15467 ÷ 32768     		x = 0.472015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19436 ÷ 215
    19436 ÷ 32768     		y = 0.5931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.472015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.05596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17583255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.186279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585213670561646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17583255} λ = -0.17583255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585213670561646))-π/2
    2×atan(0.556986837406243)-π/2
    2×0.508191555174093-π/2
    1.01638311034819-1.57079632675     		φ = -0.55441322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17583255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.074463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55441322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.765538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15467 KachelY 19436 -0.17583255 -0.55441322 -10.074463 -31.765538
    Oben rechts KachelX + 1 15468 KachelY 19436 -0.17564080 -0.55441322 -10.063477 -31.765538
    Unten links KachelX 15467 KachelY + 1 19437 -0.17583255 -0.55457623 -10.074463 -31.774877
    Unten rechts KachelX + 1 15468 KachelY + 1 19437 -0.17564080 -0.55457623 -10.063477 -31.774877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55441322--0.55457623) × R
    0.000163009999999963 × 6371000     		dl = 1038.53670999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55441322--0.55457623) × R
    0.000163009999999963 × 6371000     		dr = 1038.53670999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17583255--0.17564080) × cos(-0.55441322) × R
    0.000191749999999991 × 0.850209493726849 × 6371000     		do = 1038.6492882593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17583255--0.17564080) × cos(-0.55457623) × R
    0.000191749999999991 × 0.850123666712485 × 6371000     		du = 1038.54443860984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55441322)-sin(-0.55457623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850209493726849-0.850123666712485)×R²
    abs(-0.17564080--0.17583255)×8.58270143634376e-05×R²
    0.000191749999999991×8.58270143634376e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.58270143634376e-05×40589641000000     		ar = 1078620.97195618m²