Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15465 / 7063
↖ ↑ ↗
← N 70.991928°
W 10.096435°		 ← 397.87 m → N 70.991928°
W 10.085449°		 →
↑
397.93 m
↓
↑
397.93 m
↓
N 70.988349°
W 10.096435°		 ← 397.94 m →
158 339 m²		 N 70.988349°
W 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471969604492188 y=0.215560913085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471969604492188 × 215)
    floor (0.471969604492188 × 32768)
    floor (15465.5)     		tx = 15465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215560913085938 × 215)
    floor (0.215560913085938 × 32768)
    floor (7063.5)     		ty = 7063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15465 / 7063 ti = "15/15465/7063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15465/7063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15465 ÷ 215
    15465 ÷ 32768     		x = 0.471954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7063 ÷ 215
    7063 ÷ 32768     		y = 0.215545654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.05609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17621604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215545654296875 × 2 - 1) × π
    0.56890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78727936543417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17621604} λ = -0.17621604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78727936543417))-π/2
    2×atan(5.97317950140571)-π/2
    2×1.40491960470506-π/2
    2.80983920941012-1.57079632675     		φ = 1.23904288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17621604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.096435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23904288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.991928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15465 KachelY 7063 -0.17621604 1.23904288 -10.096435 70.991928
    Oben rechts KachelX + 1 15466 KachelY 7063 -0.17602430 1.23904288 -10.085449 70.991928
    Unten links KachelX 15465 KachelY + 1 7064 -0.17621604 1.23898042 -10.096435 70.988349
    Unten rechts KachelX + 1 15466 KachelY + 1 7064 -0.17602430 1.23898042 -10.085449 70.988349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23904288-1.23898042) × R
    6.24599999998754e-05 × 6371000     		dl = 397.932659999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23904288-1.23898042) × R
    6.24599999998754e-05 × 6371000     		dr = 397.932659999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17621604--0.17602430) × cos(1.23904288) × R
    0.000191739999999996 × 0.325701364312653 × 6371000     		do = 397.868819988957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17621604--0.17602430) × cos(1.23898042) × R
    0.000191739999999996 × 0.325760417901964 × 6371000     		du = 397.940958409209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23904288)-sin(1.23898042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325701364312653-0.325760417901964)×R²
    abs(-0.17602430--0.17621604)×5.90535893115196e-05×R²
    0.000191739999999996×5.90535893115196e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.90535893115196e-05×40589641000000     		ar = 158339.35103684m²