Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15465 / 3176
↖ ↑ ↗
← N 73.378215°
E159.807129°		 ← 698.89 m → N 73.378215°
E159.829101°		 →
↑
699.03 m
↓
↑
699.03 m
↓
N 73.371928°
E159.807129°		 ← 699.15 m →
488 631 m²		 N 73.371928°
E159.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943939208984375 y=0.193878173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943939208984375 × 214)
    floor (0.943939208984375 × 16384)
    floor (15465.5)     		tx = 15465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193878173828125 × 214)
    floor (0.193878173828125 × 16384)
    floor (3176.5)     		ty = 3176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15465 / 3176 ti = "14/15465/3176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15465/3176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15465 ÷ 214
    15465 ÷ 16384     		x = 0.94390869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3176 ÷ 214
    3176 ÷ 16384     		y = 0.19384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94390869140625 × 2 - 1) × π
    0.8878173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78916057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19384765625 × 2 - 1) × π
    0.6123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.92361190795361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78916057} λ = 2.78916057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92361190795361))-π/2
    2×atan(6.84563968975315)-π/2
    2×1.42574388695758-π/2
    2.85148777391517-1.57079632675     		φ = 1.28069145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78916057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28069145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.378215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15465 KachelY 3176 2.78916057 1.28069145 159.807129 73.378215
    Oben rechts KachelX + 1 15466 KachelY 3176 2.78954406 1.28069145 159.829101 73.378215
    Unten links KachelX 15465 KachelY + 1 3177 2.78916057 1.28058173 159.807129 73.371928
    Unten rechts KachelX + 1 15466 KachelY + 1 3177 2.78954406 1.28058173 159.829101 73.371928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28069145-1.28058173) × R
    0.00010971999999998 × 6371000     		dl = 699.026119999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28069145-1.28058173) × R
    0.00010971999999998 × 6371000     		dr = 699.026119999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78916057-2.78954406) × cos(1.28069145) × R
    0.000383489999999931 × 0.28605272107843 × 6371000     		do = 698.888238858439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78916057-2.78954406) × cos(1.28058173) × R
    0.000383489999999931 × 0.286157854583367 × 6371000     		du = 699.145102592624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28069145)-sin(1.28058173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28605272107843-0.286157854583367)×R²
    abs(2.78954406-2.78916057)×0.000105133504936683×R²
    0.000383489999999931×0.000105133504936683×6371000²
    0.000383489999999931×0.000105133504936683×40589641000000     		ar = 488630.911641339m²