Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15465 / 19219
↖ ↑ ↗
← S 29.716681°
W 10.096435°		 ← 1 060.92 m → S 29.716681°
W 10.085449°		 →
↑
1 060.90 m
↓
↑
1 060.90 m
↓
S 29.726222°
W 10.096435°		 ← 1 060.82 m →
1 125 478 m²		 S 29.726222°
W 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471969604492188 y=0.586532592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471969604492188 × 215)
    floor (0.471969604492188 × 32768)
    floor (15465.5)     		tx = 15465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586532592773438 × 215)
    floor (0.586532592773438 × 32768)
    floor (19219.5)     		ty = 19219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15465 / 19219 ti = "15/15465/19219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15465/19219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15465 ÷ 215
    15465 ÷ 32768     		x = 0.471954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19219 ÷ 215
    19219 ÷ 32768     		y = 0.586517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.05609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17621604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.17303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.543604441691437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17621604} λ = -0.17621604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543604441691437))-π/2
    2×atan(0.580651551265993)-π/2
    2×0.526071197790211-π/2
    1.05214239558042-1.57079632675     		φ = -0.51865393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17621604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.096435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51865393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.716681°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15465 KachelY 19219 -0.17621604 -0.51865393 -10.096435 -29.716681
    Oben rechts KachelX + 1 15466 KachelY 19219 -0.17602430 -0.51865393 -10.085449 -29.716681
    Unten links KachelX 15465 KachelY + 1 19220 -0.17621604 -0.51882045 -10.096435 -29.726222
    Unten rechts KachelX + 1 15466 KachelY + 1 19220 -0.17602430 -0.51882045 -10.085449 -29.726222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51865393--0.51882045) × R
    0.000166519999999948 × 6371000     		dl = 1060.89891999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51865393--0.51882045) × R
    0.000166519999999948 × 6371000     		dr = 1060.89891999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17621604--0.17602430) × cos(-0.51865393) × R
    0.000191739999999996 × 0.868487228720224 × 6371000     		do = 1060.92275540699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17621604--0.17602430) × cos(-0.51882045) × R
    0.000191739999999996 × 0.868404670793415 × 6371000     		du = 1060.82190466297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51865393)-sin(-0.51882045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868487228720224-0.868404670793415)×R²
    abs(-0.17602430--0.17621604)×8.25579268084464e-05×R²
    0.000191739999999996×8.25579268084464e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.25579268084464e-05×40589641000000     		ar = 1125478.31179258m²