Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15464 / 8637
↖ ↑ ↗
← N 64.486993°
W 10.107422°		 ← 526.18 m → N 64.486993°
W 10.096435°		 →
↑
526.24 m
↓
↑
526.24 m
↓
N 64.482261°
W 10.107422°		 ← 526.27 m →
276 923 m²		 N 64.482261°
W 10.096435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471939086914062 y=0.263595581054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471939086914062 × 215)
    floor (0.471939086914062 × 32768)
    floor (15464.5)     		tx = 15464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263595581054688 × 215)
    floor (0.263595581054688 × 32768)
    floor (8637.5)     		ty = 8637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15464 / 8637 ti = "15/15464/8637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15464/8637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15464 ÷ 215
    15464 ÷ 32768     		x = 0.471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8637 ÷ 215
    8637 ÷ 32768     		y = 0.263580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.05615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17640779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263580322265625 × 2 - 1) × π
    0.47283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.4854686454263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17640779} λ = -0.17640779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4854686454263))-π/2
    2×atan(4.41703495102849)-π/2
    2×1.3481533437413-π/2
    2.6963066874826-1.57079632675     		φ = 1.12551036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17640779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.107422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12551036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.486993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15464 KachelY 8637 -0.17640779 1.12551036 -10.107422 64.486993
    Oben rechts KachelX + 1 15465 KachelY 8637 -0.17621604 1.12551036 -10.096435 64.486993
    Unten links KachelX 15464 KachelY + 1 8638 -0.17640779 1.12542776 -10.107422 64.482261
    Unten rechts KachelX + 1 15465 KachelY + 1 8638 -0.17621604 1.12542776 -10.096435 64.482261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12551036-1.12542776) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dl = 526.244600000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12551036-1.12542776) × R
    8.26000000000437e-05 × 6371000     		dr = 526.244600000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17640779--0.17621604) × cos(1.12551036) × R
    0.000191750000000018 × 0.430715979375635 × 6371000     		do = 526.179546007516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17640779--0.17621604) × cos(1.12542776) × R
    0.000191750000000018 × 0.430790523376344 × 6371000     		du = 526.270611884634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12551036)-sin(1.12542776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430715979375635-0.430790523376344)×R²
    abs(-0.17621604--0.17640779)×7.45440007086096e-05×R²
    0.000191750000000018×7.45440007086096e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.45440007086096e-05×40589641000000     		ar = 276923.106337133m²