Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15464 / 3174
↖ ↑ ↗
← N 73.390781°
E159.785156°		 ← 698.39 m → N 73.390781°
E159.807129°		 →
↑
698.52 m
↓
↑
698.52 m
↓
N 73.384499°
E159.785156°		 ← 698.65 m →
487 929 m²		 N 73.384499°
E159.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943878173828125 y=0.193756103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943878173828125 × 214)
    floor (0.943878173828125 × 16384)
    floor (15464.5)     		tx = 15464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193756103515625 × 214)
    floor (0.193756103515625 × 16384)
    floor (3174.5)     		ty = 3174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15464 / 3174 ti = "14/15464/3174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15464/3174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15464 ÷ 214
    15464 ÷ 16384     		x = 0.94384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3174 ÷ 214
    3174 ÷ 16384     		y = 0.1937255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94384765625 × 2 - 1) × π
    0.8876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.78877707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1937255859375 × 2 - 1) × π
    0.612548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92437889834753
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78877707} λ = 2.78877707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92437889834753))-π/2
    2×atan(6.85089224370715)-π/2
    2×1.4258535465008-π/2
    2.8517070930016-1.57079632675     		φ = 1.28091077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78877707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28091077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.390781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15464 KachelY 3174 2.78877707 1.28091077 159.785156 73.390781
    Oben rechts KachelX + 1 15465 KachelY 3174 2.78916057 1.28091077 159.807129 73.390781
    Unten links KachelX 15464 KachelY + 1 3175 2.78877707 1.28080113 159.785156 73.384499
    Unten rechts KachelX + 1 15465 KachelY + 1 3175 2.78916057 1.28080113 159.807129 73.384499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28091077-1.28080113) × R
    0.000109640000000022 × 6371000     		dl = 698.51644000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28091077-1.28080113) × R
    0.000109640000000022 × 6371000     		dr = 698.51644000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78877707-2.78916057) × cos(1.28091077) × R
    0.00038349999999987 × 0.285842558732097 × 6371000     		do = 698.392978134883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78877707-2.78916057) × cos(1.28080113) × R
    0.00038349999999987 × 0.285947622459664 × 6371000     		du = 698.649678081577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28091077)-sin(1.28080113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285842558732097-0.285947622459664)×R²
    abs(2.78916057-2.78877707)×0.000105063727566801×R²
    0.00038349999999987×0.000105063727566801×6371000²
    0.00038349999999987×0.000105063727566801×40589641000000     		ar = 487928.631864133m²