Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15462 / 3168
↖ ↑ ↗
← N 73.428424°
E159.741211°		 ← 696.85 m → N 73.428424°
E159.763184°		 →
↑
696.99 m
↓
↑
696.99 m
↓
N 73.422156°
E159.741211°		 ← 697.11 m →
485 788 m²		 N 73.422156°
E159.763184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943756103515625 y=0.193389892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943756103515625 × 214)
    floor (0.943756103515625 × 16384)
    floor (15462.5)     		tx = 15462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193389892578125 × 214)
    floor (0.193389892578125 × 16384)
    floor (3168.5)     		ty = 3168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15462 / 3168 ti = "14/15462/3168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15462/3168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15462 ÷ 214
    15462 ÷ 16384     		x = 0.9437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3168 ÷ 214
    3168 ÷ 16384     		y = 0.193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9437255859375 × 2 - 1) × π
    0.887451171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.78801008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.193359375 × 2 - 1) × π
    0.61328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.9266798695293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78801008} λ = 2.78801008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9266798695293))-π/2
    2×atan(6.86667409916354)-π/2
    2×1.42618204193254-π/2
    2.85236408386507-1.57079632675     		φ = 1.28156776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78801008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.741211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28156776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.428424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15462 KachelY 3168 2.78801008 1.28156776 159.741211 73.428424
    Oben rechts KachelX + 1 15463 KachelY 3168 2.78839358 1.28156776 159.763184 73.428424
    Unten links KachelX 15462 KachelY + 1 3169 2.78801008 1.28145836 159.741211 73.422156
    Unten rechts KachelX + 1 15463 KachelY + 1 3169 2.78839358 1.28145836 159.763184 73.422156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28156776-1.28145836) × R
    0.000109399999999926 × 6371000     		dl = 696.98739999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28156776-1.28145836) × R
    0.000109399999999926 × 6371000     		dr = 696.98739999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78801008-2.78839358) × cos(1.28156776) × R
    0.000383500000000314 × 0.285212918947603 × 6371000     		do = 696.854592787493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78801008-2.78839358) × cos(1.28145836) × R
    0.000383500000000314 × 0.285317773222293 × 6371000     		du = 697.110780982475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28156776)-sin(1.28145836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.285212918947603-0.285317773222293)×R²
    abs(2.78839358-2.78801008)×0.000104854274689592×R²
    0.000383500000000314×0.000104854274689592×6371000²
    0.000383500000000314×0.000104854274689592×40589641000000     		ar = 485788.151260907m²