Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15461 / 7075
↖ ↑ ↗
← N 70.948942°
W 10.140381°		 ← 398.74 m → N 70.948942°
W 10.129395°		 →
↑
398.82 m
↓
↑
398.82 m
↓
N 70.945355°
W 10.140381°		 ← 398.81 m →
159 040 m²		 N 70.945355°
W 10.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471847534179688 y=0.215927124023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471847534179688 × 215)
    floor (0.471847534179688 × 32768)
    floor (15461.5)     		tx = 15461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215927124023438 × 215)
    floor (0.215927124023438 × 32768)
    floor (7075.5)     		ty = 7075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15461 / 7075 ti = "15/15461/7075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15461/7075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15461 ÷ 215
    15461 ÷ 32768     		x = 0.471832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7075 ÷ 215
    7075 ÷ 32768     		y = 0.215911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.05633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17698303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215911865234375 × 2 - 1) × π
    0.56817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.78497839425241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17698303} λ = -0.17698303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78497839425241))-π/2
    2×atan(5.95945118779348)-π/2
    2×1.40454448212381-π/2
    2.80908896424762-1.57079632675     		φ = 1.23829264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17698303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23829264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.948942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15461 KachelY 7075 -0.17698303 1.23829264 -10.140381 70.948942
    Oben rechts KachelX + 1 15462 KachelY 7075 -0.17679129 1.23829264 -10.129395 70.948942
    Unten links KachelX 15461 KachelY + 1 7076 -0.17698303 1.23823004 -10.140381 70.945355
    Unten rechts KachelX + 1 15462 KachelY + 1 7076 -0.17679129 1.23823004 -10.129395 70.945355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23829264-1.23823004) × R
    6.26000000001348e-05 × 6371000     		dl = 398.824600000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23829264-1.23823004) × R
    6.26000000001348e-05 × 6371000     		dr = 398.824600000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17698303--0.17679129) × cos(1.23829264) × R
    0.000191740000000024 × 0.326410604020371 × 6371000     		do = 398.735209867959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17698303--0.17679129) × cos(1.23823004) × R
    0.000191740000000024 × 0.326469774658391 × 6371000     		du = 398.807491272051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23829264)-sin(1.23823004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326410604020371-0.326469774658391)×R²
    abs(-0.17679129--0.17698303)×5.9170638020356e-05×R²
    0.000191740000000024×5.9170638020356e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.9170638020356e-05×40589641000000     		ar = 159039.82443485m²