Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15461 / 19141
↖ ↑ ↗
← S 28.969701°
W 10.140381°		 ← 1 068.73 m → S 28.969701°
W 10.129395°		 →
↑
1 068.74 m
↓
↑
1 068.74 m
↓
S 28.979312°
W 10.140381°		 ← 1 068.63 m →
1 142 133 m²		 S 28.979312°
W 10.129395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471847534179688 y=0.584152221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471847534179688 × 215)
    floor (0.471847534179688 × 32768)
    floor (15461.5)     		tx = 15461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584152221679688 × 215)
    floor (0.584152221679688 × 32768)
    floor (19141.5)     		ty = 19141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15461 / 19141 ti = "15/15461/19141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15461/19141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15461 ÷ 215
    15461 ÷ 32768     		x = 0.471832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19141 ÷ 215
    19141 ÷ 32768     		y = 0.584136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.05633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17698303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528648129009979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17698303} λ = -0.17698303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528648129009979))-π/2
    2×atan(0.589401225757926)-π/2
    2×0.532589832189369-π/2
    1.06517966437874-1.57079632675     		φ = -0.50561666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17698303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.140381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50561666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.969701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15461 KachelY 19141 -0.17698303 -0.50561666 -10.140381 -28.969701
    Oben rechts KachelX + 1 15462 KachelY 19141 -0.17679129 -0.50561666 -10.129395 -28.969701
    Unten links KachelX 15461 KachelY + 1 19142 -0.17698303 -0.50578441 -10.140381 -28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 15462 KachelY + 1 19142 -0.17679129 -0.50578441 -10.129395 -28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50561666--0.50578441) × R
    0.000167749999999911 × 6371000     		dl = 1068.73524999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50561666--0.50578441) × R
    0.000167749999999911 × 6371000     		dr = 1068.73524999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17698303--0.17679129) × cos(-0.50561666) × R
    0.000191740000000024 × 0.874875963347861 × 6371000     		do = 1068.72707735981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17698303--0.17679129) × cos(-0.50578441) × R
    0.000191740000000024 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 1068.62781026975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50561666)-sin(-0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874875963347861-0.874794701823858)×R²
    abs(-0.17679129--0.17698303)×8.12615240026737e-05×R²
    0.000191740000000024×8.12615240026737e-05×6371000²
    0.000191740000000024×8.12615240026737e-05×40589641000000     		ar = 1142133.25776223m²