Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 15460 / 19426
↖ ↑ ↗
← S 31.672084°
W 10.151367°		 ← 1 039.70 m → S 31.672084°
W 10.140381°		 →
↑
1 039.62 m
↓
↑
1 039.62 m
↓
S 31.681433°
W 10.151367°		 ← 1 039.59 m →
1 080 835 m²		 S 31.681433°
W 10.140381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471817016601562 y=0.592849731445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471817016601562 × 215)
    floor (0.471817016601562 × 32768)
    floor (15460.5)     		tx = 15460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592849731445312 × 215)
    floor (0.592849731445312 × 32768)
    floor (19426.5)     		ty = 19426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15460 / 19426 ti = "15/15460/19426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15460/19426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15460 ÷ 215
    15460 ÷ 32768     		x = 0.4718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19426 ÷ 215
    19426 ÷ 32768     		y = 0.59283447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4718017578125 × 2 - 1) × π
    -0.056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.17717478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1856689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.583296194576843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17717478} λ = -0.17717478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.583296194576843))-π/2
    2×atan(0.558055870886289)-π/2
    2×0.509007094509357-π/2
    1.01801418901871-1.57079632675     		φ = -0.55278214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17717478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.151367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55278214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.672084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15460 KachelY 19426 -0.17717478 -0.55278214 -10.151367 -31.672084
    Oben rechts KachelX + 1 15461 KachelY 19426 -0.17698303 -0.55278214 -10.140381 -31.672084
    Unten links KachelX 15460 KachelY + 1 19427 -0.17717478 -0.55294532 -10.151367 -31.681433
    Unten rechts KachelX + 1 15461 KachelY + 1 19427 -0.17698303 -0.55294532 -10.140381 -31.681433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55278214--0.55294532) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dl = 1039.61977999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55278214--0.55294532) × R
    0.000163179999999929 × 6371000     		dr = 1039.61977999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17717478--0.17698303) × cos(-0.55278214) × R
    0.000191749999999991 × 0.851067035491464 × 6371000     		do = 1039.69689493746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17717478--0.17698303) × cos(-0.55294532) × R
    0.000191749999999991 × 0.850981345352165 × 6371000     		du = 1039.59221249996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55278214)-sin(-0.55294532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851067035491464-0.850981345352165)×R²
    abs(-0.17698303--0.17717478)×8.5690139299488e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5690139299488e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5690139299488e-05×40589641000000     		ar = 1080835.04461371m²