Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15459 / 3109
↖ ↑ ↗
← N 73.794187°
E159.675293°		 ← 681.87 m → N 73.794187°
E159.697266°		 →
↑
682.02 m
↓
↑
682.02 m
↓
N 73.788053°
E159.675293°		 ← 682.12 m →
465 134 m²		 N 73.788053°
E159.697266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943572998046875 y=0.189788818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943572998046875 × 214)
    floor (0.943572998046875 × 16384)
    floor (15459.5)     		tx = 15459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.189788818359375 × 214)
    floor (0.189788818359375 × 16384)
    floor (3109.5)     		ty = 3109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15459 / 3109 ti = "14/15459/3109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15459/3109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15459 ÷ 214
    15459 ÷ 16384     		x = 0.94354248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3109 ÷ 214
    3109 ÷ 16384     		y = 0.18975830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94354248046875 × 2 - 1) × π
    0.8870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78685960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18975830078125 × 2 - 1) × π
    0.6204833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94930608614996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78685960} λ = 2.78685960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94930608614996))-π/2
    2×atan(7.02381196875247)-π/2
    2×1.42937392917759-π/2
    2.85874785835518-1.57079632675     		φ = 1.28795153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78685960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.675293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28795153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.794187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15459 KachelY 3109 2.78685960 1.28795153 159.675293 73.794187
    Oben rechts KachelX + 1 15460 KachelY 3109 2.78724309 1.28795153 159.697266 73.794187
    Unten links KachelX 15459 KachelY + 1 3110 2.78685960 1.28784448 159.675293 73.788053
    Unten rechts KachelX + 1 15460 KachelY + 1 3110 2.78724309 1.28784448 159.697266 73.788053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28795153-1.28784448) × R
    0.000107049999999997 × 6371000     		dl = 682.015549999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28795153-1.28784448) × R
    0.000107049999999997 × 6371000     		dr = 682.015549999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78685960-2.78724309) × cos(1.28795153) × R
    0.000383489999999931 × 0.27908853405283 × 6371000     		do = 681.873234117169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78685960-2.78724309) × cos(1.28784448) × R
    0.000383489999999931 × 0.279191328861877 × 6371000     		du = 682.124383914968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28795153)-sin(1.28784448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27908853405283-0.279191328861877)×R²
    abs(2.78724309-2.78685960)×0.000102794809046902×R²
    0.000383489999999931×0.000102794809046902×6371000²
    0.000383489999999931×0.000102794809046902×40589641000000     		ar = 465133.793275643m²