Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15458 / 3133
↖ ↑ ↗
← N 73.646359°
E159.653320°		 ← 687.94 m → N 73.646359°
E159.675293°		 →
↑
688.07 m
↓
↑
688.07 m
↓
N 73.640171°
E159.653320°		 ← 688.20 m →
473 438 m²		 N 73.640171°
E159.675293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943511962890625 y=0.191253662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943511962890625 × 214)
    floor (0.943511962890625 × 16384)
    floor (15458.5)     		tx = 15458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191253662109375 × 214)
    floor (0.191253662109375 × 16384)
    floor (3133.5)     		ty = 3133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15458 / 3133 ti = "14/15458/3133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15458/3133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15458 ÷ 214
    15458 ÷ 16384     		x = 0.9434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3133 ÷ 214
    3133 ÷ 16384     		y = 0.19122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9434814453125 × 2 - 1) × π
    0.886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.78647610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19122314453125 × 2 - 1) × π
    0.6175537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.94010220142291
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78647610} λ = 2.78647610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.94010220142291))-π/2
    2×atan(6.95946220123194)-π/2
    2×1.42808388885668-π/2
    2.85616777771335-1.57079632675     		φ = 1.28537145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78647610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28537145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.646359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15458 KachelY 3133 2.78647610 1.28537145 159.653320 73.646359
    Oben rechts KachelX + 1 15459 KachelY 3133 2.78685960 1.28537145 159.675293 73.646359
    Unten links KachelX 15458 KachelY + 1 3134 2.78647610 1.28526345 159.653320 73.640171
    Unten rechts KachelX + 1 15459 KachelY + 1 3134 2.78685960 1.28526345 159.675293 73.640171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28537145-1.28526345) × R
    0.000107999999999997 × 6371000     		dl = 688.067999999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28537145-1.28526345) × R
    0.000107999999999997 × 6371000     		dr = 688.067999999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78647610-2.78685960) × cos(1.28537145) × R
    0.000383500000000314 × 0.281565163872881 × 6371000     		do = 687.94211124015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78647610-2.78685960) × cos(1.28526345) × R
    0.000383500000000314 × 0.281668792778338 × 6371000     		du = 688.195305516832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28537145)-sin(1.28526345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281565163872881-0.281668792778338)×R²
    abs(2.78685960-2.78647610)×0.00010362890545712×R²
    0.000383500000000314×0.00010362890545712×6371000²
    0.000383500000000314×0.00010362890545712×40589641000000     		ar = 473438.060497896m²