Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15456 / 19343
↖ ↑ ↗
← S 30.892797°
W 10.195312°		 ← 1 048.32 m → S 30.892797°
W 10.184326°		 →
↑
1 048.28 m
↓
↑
1 048.28 m
↓
S 30.902225°
W 10.195312°		 ← 1 048.22 m →
1 098 888 m²		 S 30.902225°
W 10.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471694946289062 y=0.590316772460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471694946289062 × 215)
    floor (0.471694946289062 × 32768)
    floor (15456.5)     		tx = 15456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590316772460938 × 215)
    floor (0.590316772460938 × 32768)
    floor (19343.5)     		ty = 19343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15456 / 19343 ti = "15/15456/19343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15456/19343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15456 ÷ 215
    15456 ÷ 32768     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19343 ÷ 215
    19343 ÷ 32768     		y = 0.590301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590301513671875 × 2 - 1) × π
    -0.18060302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.567381143902985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.567381143902985))-π/2
    2×atan(0.567008409438606)-π/2
    2×0.515807647837248-π/2
    1.0316152956745-1.57079632675     		φ = -0.53918103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53918103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.892797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15456 KachelY 19343 -0.17794177 -0.53918103 -10.195312 -30.892797
    Oben rechts KachelX + 1 15457 KachelY 19343 -0.17775002 -0.53918103 -10.184326 -30.892797
    Unten links KachelX 15456 KachelY + 1 19344 -0.17794177 -0.53934557 -10.195312 -30.902225
    Unten rechts KachelX + 1 15457 KachelY + 1 19344 -0.17775002 -0.53934557 -10.184326 -30.902225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53918103--0.53934557) × R
    0.000164540000000102 × 6371000     		dl = 1048.28434000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53918103--0.53934557) × R
    0.000164540000000102 × 6371000     		dr = 1048.28434000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17775002) × cos(-0.53918103) × R
    0.000191749999999991 × 0.858129455632163 × 6371000     		do = 1048.32462458133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17775002) × cos(-0.53934557) × R
    0.000191749999999991 × 0.858044963687684 × 6371000     		du = 1048.22140590565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53918103)-sin(-0.53934557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858129455632163-0.858044963687684)×R²
    abs(-0.17775002--0.17794177)×8.44919444789038e-05×R²
    0.000191749999999991×8.44919444789038e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.44919444789038e-05×40589641000000     		ar = 1098888.18840397m²