Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15456 / 19039
↖ ↑ ↗
← S 27.984700°
W 10.195312°		 ← 1 078.80 m → S 27.984700°
W 10.184326°		 →
↑
1 078.74 m
↓
↑
1 078.74 m
↓
S 27.994402°
W 10.195312°		 ← 1 078.70 m →
1 163 686 m²		 S 27.994402°
W 10.184326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471694946289062 y=0.581039428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471694946289062 × 215)
    floor (0.471694946289062 × 32768)
    floor (15456.5)     		tx = 15456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581039428710938 × 215)
    floor (0.581039428710938 × 32768)
    floor (19039.5)     		ty = 19039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15456 / 19039 ti = "15/15456/19039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15456/19039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15456 ÷ 215
    15456 ÷ 32768     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19039 ÷ 215
    19039 ÷ 32768     		y = 0.581024169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    -0.16204833984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.509089873964996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509089873964996))-π/2
    2×atan(0.601042354251986)-π/2
    2×0.541185584777354-π/2
    1.08237116955471-1.57079632675     		φ = -0.48842516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48842516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.984700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15456 KachelY 19039 -0.17794177 -0.48842516 -10.195312 -27.984700
    Oben rechts KachelX + 1 15457 KachelY 19039 -0.17775002 -0.48842516 -10.184326 -27.984700
    Unten links KachelX 15456 KachelY + 1 19040 -0.17794177 -0.48859448 -10.195312 -27.994402
    Unten rechts KachelX + 1 15457 KachelY + 1 19040 -0.17775002 -0.48859448 -10.184326 -27.994402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48842516--0.48859448) × R
    0.000169319999999973 × 6371000     		dl = 1078.73771999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48842516--0.48859448) × R
    0.000169319999999973 × 6371000     		dr = 1078.73771999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17775002) × cos(-0.48842516) × R
    0.000191749999999991 × 0.883072924631577 × 6371000     		do = 1078.79654534217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17775002) × cos(-0.48859448) × R
    0.000191749999999991 × 0.882993460972506 × 6371000     		du = 1078.6994694173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48842516)-sin(-0.48859448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883072924631577-0.882993460972506)×R²
    abs(-0.17775002--0.17794177)×7.94636590705222e-05×R²
    0.000191749999999991×7.94636590705222e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.94636590705222e-05×40589641000000     		ar = 1163686.16871548m²