Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15455 / 19049
↖ ↑ ↗
← S 28.081674°
W 10.206299°		 ← 1 077.82 m → S 28.081674°
W 10.195312°		 →
↑
1 077.72 m
↓
↑
1 077.72 m
↓
S 28.091366°
W 10.206299°		 ← 1 077.73 m →
1 161 539 m²		 S 28.091366°
W 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471664428710938 y=0.581344604492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471664428710938 × 215)
    floor (0.471664428710938 × 32768)
    floor (15455.5)     		tx = 15455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581344604492188 × 215)
    floor (0.581344604492188 × 32768)
    floor (19049.5)     		ty = 19049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15455 / 19049 ti = "15/15455/19049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15455/19049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15455 ÷ 215
    15455 ÷ 32768     		x = 0.471649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19049 ÷ 215
    19049 ÷ 32768     		y = 0.581329345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.05670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17813352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581329345703125 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.511007349949799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17813352} λ = -0.17813352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511007349949799))-π/2
    2×atan(0.599890974196437)-π/2
    2×0.540339330382583-π/2
    1.08067866076517-1.57079632675     		φ = -0.49011767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17813352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49011767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.081674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15455 KachelY 19049 -0.17813352 -0.49011767 -10.206299 -28.081674
    Oben rechts KachelX + 1 15456 KachelY 19049 -0.17794177 -0.49011767 -10.195312 -28.081674
    Unten links KachelX 15455 KachelY + 1 19050 -0.17813352 -0.49028683 -10.206299 -28.091366
    Unten rechts KachelX + 1 15456 KachelY + 1 19050 -0.17794177 -0.49028683 -10.195312 -28.091366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49011767--0.49028683) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dl = 1077.71836000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49011767--0.49028683) × R
    0.000169160000000002 × 6371000     		dr = 1077.71836000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17813352--0.17794177) × cos(-0.49011767) × R
    0.000191749999999991 × 0.882277473953497 × 6371000     		do = 1077.82479157239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17813352--0.17794177) × cos(-0.49028683) × R
    0.000191749999999991 × 0.882197832693067 × 6371000     		du = 1077.72749868273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49011767)-sin(-0.49028683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882277473953497-0.882197832693067)×R²
    abs(-0.17794177--0.17813352)×7.9641260429697e-05×R²
    0.000191749999999991×7.9641260429697e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.9641260429697e-05×40589641000000     		ar = 1161539.14234351m²