Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15455 / 19045
↖ ↑ ↗
← S 28.042895°
W 10.206299°		 ← 1 078.21 m → S 28.042895°
W 10.195312°		 →
↑
1 078.10 m
↓
↑
1 078.10 m
↓
S 28.052591°
W 10.206299°		 ← 1 078.12 m →
1 162 371 m²		 S 28.052591°
W 10.195312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471664428710938 y=0.581222534179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471664428710938 × 215)
    floor (0.471664428710938 × 32768)
    floor (15455.5)     		tx = 15455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581222534179688 × 215)
    floor (0.581222534179688 × 32768)
    floor (19045.5)     		ty = 19045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15455 / 19045 ti = "15/15455/19045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15455/19045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15455 ÷ 215
    15455 ÷ 32768     		x = 0.471649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19045 ÷ 215
    19045 ÷ 32768     		y = 0.581207275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.05670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17813352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581207275390625 × 2 - 1) × π
    -0.16241455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.510240359555878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17813352} λ = -0.17813352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.510240359555878))-π/2
    2×atan(0.600351261306377)-π/2
    2×0.540677740618131-π/2
    1.08135548123626-1.57079632675     		φ = -0.48944085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17813352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.206299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48944085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.042895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15455 KachelY 19045 -0.17813352 -0.48944085 -10.206299 -28.042895
    Oben rechts KachelX + 1 15456 KachelY 19045 -0.17794177 -0.48944085 -10.195312 -28.042895
    Unten links KachelX 15455 KachelY + 1 19046 -0.17813352 -0.48961007 -10.206299 -28.052591
    Unten rechts KachelX + 1 15456 KachelY + 1 19046 -0.17794177 -0.48961007 -10.195312 -28.052591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48944085--0.48961007) × R
    0.000169220000000025 × 6371000     		dl = 1078.10062000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48944085--0.48961007) × R
    0.000169220000000025 × 6371000     		dr = 1078.10062000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17813352--0.17794177) × cos(-0.48944085) × R
    0.000191749999999991 × 0.882595871131663 × 6371000     		do = 1078.21375806233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17813352--0.17794177) × cos(-0.48961007) × R
    0.000191749999999991 × 0.882516302680718 × 6371000     		du = 1078.11655411959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48944085)-sin(-0.48961007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882595871131663-0.882516302680718)×R²
    abs(-0.17794177--0.17813352)×7.95684509449224e-05×R²
    0.000191749999999991×7.95684509449224e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.95684509449224e-05×40589641000000     		ar = 1162370.52601804m²