Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 15454 / 3302
↖ ↑ ↗
← N 72.567668°
E159.565430°		 ← 731.96 m → N 72.567668°
E159.587403°		 →
↑
732.03 m
↓
↑
732.03 m
↓
N 72.561085°
E159.565430°		 ← 732.22 m →
535 910 m²		 N 72.561085°
E159.587403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943267822265625 y=0.201568603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943267822265625 × 214)
    floor (0.943267822265625 × 16384)
    floor (15454.5)     		tx = 15454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.201568603515625 × 214)
    floor (0.201568603515625 × 16384)
    floor (3302.5)     		ty = 3302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15454 / 3302 ti = "14/15454/3302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15454/3302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15454 ÷ 214
    15454 ÷ 16384     		x = 0.9432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3302 ÷ 214
    3302 ÷ 16384     		y = 0.2015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9432373046875 × 2 - 1) × π
    0.886474609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78494212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2015380859375 × 2 - 1) × π
    0.596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.8752915131366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78494212} λ = 2.78494212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8752915131366))-π/2
    2×atan(6.52272030186129)-π/2
    2×1.41867053557393-π/2
    2.83734107114786-1.57079632675     		φ = 1.26654474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78494212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.565430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26654474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.567668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15454 KachelY 3302 2.78494212 1.26654474 159.565430 72.567668
    Oben rechts KachelX + 1 15455 KachelY 3302 2.78532562 1.26654474 159.587403 72.567668
    Unten links KachelX 15454 KachelY + 1 3303 2.78494212 1.26642984 159.565430 72.561085
    Unten rechts KachelX + 1 15455 KachelY + 1 3303 2.78532562 1.26642984 159.587403 72.561085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26654474-1.26642984) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dl = 732.027900000184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26654474-1.26642984) × R
    0.000114900000000029 × 6371000     		dr = 732.027900000184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78494212-2.78532562) × cos(1.26654474) × R
    0.00038349999999987 × 0.299579219520503 × 6371000     		do = 731.955466100977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78494212-2.78532562) × cos(1.26642984) × R
    0.00038349999999987 × 0.299688840349906 × 6371000     		du = 732.223300316609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26654474)-sin(1.26642984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.299579219520503-0.299688840349906)×R²
    abs(2.78532562-2.78494212)×0.000109620829402801×R²
    0.00038349999999987×0.000109620829402801×6371000²
    0.00038349999999987×0.000109620829402801×40589641000000     		ar = 535909.854392735m²