Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15453 / 19260
↖ ↑ ↗
← S 30.107118°
W 10.228271°		 ← 1 056.77 m → S 30.107118°
W 10.217285°		 →
↑
1 056.76 m
↓
↑
1 056.76 m
↓
S 30.116622°
W 10.228271°		 ← 1 056.67 m →
1 116 698 m²		 S 30.116622°
W 10.217285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471603393554688 y=0.587783813476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471603393554688 × 215)
    floor (0.471603393554688 × 32768)
    floor (15453.5)     		tx = 15453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587783813476562 × 215)
    floor (0.587783813476562 × 32768)
    floor (19260.5)     		ty = 19260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15453 / 19260 ti = "15/15453/19260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15453/19260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15453 ÷ 215
    15453 ÷ 32768     		x = 0.471588134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19260 ÷ 215
    19260 ÷ 32768     		y = 0.5877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.05682373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.17851701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551466093229126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17851701} λ = -0.17851701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551466093229126))-π/2
    2×atan(0.576104567923463)-π/2
    2×0.522663995696346-π/2
    1.04532799139269-1.57079632675     		φ = -0.52546834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17851701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.228271°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52546834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.107118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15453 KachelY 19260 -0.17851701 -0.52546834 -10.228271 -30.107118
    Oben rechts KachelX + 1 15454 KachelY 19260 -0.17832527 -0.52546834 -10.217285 -30.107118
    Unten links KachelX 15453 KachelY + 1 19261 -0.17851701 -0.52563421 -10.228271 -30.116622
    Unten rechts KachelX + 1 15454 KachelY + 1 19261 -0.17832527 -0.52563421 -10.217285 -30.116622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52546834--0.52563421) × R
    0.000165870000000012 × 6371000     		dl = 1056.75777000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52546834--0.52563421) × R
    0.000165870000000012 × 6371000     		dr = 1056.75777000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17851701--0.17832527) × cos(-0.52546834) × R
    0.000191739999999996 × 0.86508910863182 × 6371000     		do = 1056.77169502501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17851701--0.17832527) × cos(-0.52563421) × R
    0.000191739999999996 × 0.865005893318259 × 6371000     		du = 1056.67004123341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52546834)-sin(-0.52563421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86508910863182-0.865005893318259)×R²
    abs(-0.17832527--0.17851701)×8.32153135607028e-05×R²
    0.000191739999999996×8.32153135607028e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.32153135607028e-05×40589641000000     		ar = 1116697.99067733m²