Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15452 / 19042
↖ ↑ ↗
← S 28.013801°
W 10.239258°		 ← 1 078.51 m → S 28.013801°
W 10.228271°		 →
↑
1 078.42 m
↓
↑
1 078.42 m
↓
S 28.023500°
W 10.239258°		 ← 1 078.41 m →
1 163 028 m²		 S 28.023500°
W 10.228271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471572875976562 y=0.581130981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471572875976562 × 215)
    floor (0.471572875976562 × 32768)
    floor (15452.5)     		tx = 15452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581130981445312 × 215)
    floor (0.581130981445312 × 32768)
    floor (19042.5)     		ty = 19042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15452 / 19042 ti = "15/15452/19042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15452/19042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15452 ÷ 215
    15452 ÷ 32768     		x = 0.4715576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19042 ÷ 215
    19042 ÷ 32768     		y = 0.58111572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17870876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.509665116760437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17870876} λ = -0.17870876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509665116760437))-π/2
    2×atan(0.600696708392625)-π/2
    2×0.540931628395097-π/2
    1.08186325679019-1.57079632675     		φ = -0.48893307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17870876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48893307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.013801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15452 KachelY 19042 -0.17870876 -0.48893307 -10.239258 -28.013801
    Oben rechts KachelX + 1 15453 KachelY 19042 -0.17851701 -0.48893307 -10.228271 -28.013801
    Unten links KachelX 15452 KachelY + 1 19043 -0.17870876 -0.48910234 -10.239258 -28.023500
    Unten rechts KachelX + 1 15453 KachelY + 1 19043 -0.17851701 -0.48910234 -10.228271 -28.023500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48893307--0.48910234) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dl = 1078.41916999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48893307--0.48910234) × R
    0.000169269999999999 × 6371000     		dr = 1078.41916999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17870876--0.17851701) × cos(-0.48893307) × R
    0.000191749999999991 × 0.882834481196543 × 6371000     		do = 1078.50525348303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17870876--0.17851701) × cos(-0.48910234) × R
    0.000191749999999991 × 0.882754965099155 × 6371000     		du = 1078.40811349745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48893307)-sin(-0.48910234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882834481196543-0.882754965099155)×R²
    abs(-0.17851701--0.17870876)×7.95160973886544e-05×R²
    0.000191749999999991×7.95160973886544e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.95160973886544e-05×40589641000000     		ar = 1163028.36426757m²