Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 15451 / 3159
↖ ↑ ↗
← N 73.484732°
E159.499511°		 ← 694.55 m → N 73.484732°
E159.521484°		 →
↑
694.69 m
↓
↑
694.69 m
↓
N 73.478485°
E159.499511°		 ← 694.81 m →
482 590 m²		 N 73.478485°
E159.521484°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.943084716796875 y=0.192840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.943084716796875 × 214)
    floor (0.943084716796875 × 16384)
    floor (15451.5)     		tx = 15451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192840576171875 × 214)
    floor (0.192840576171875 × 16384)
    floor (3159.5)     		ty = 3159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 15451 / 3159 ti = "14/15451/3159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/15451/3159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15451 ÷ 214
    15451 ÷ 16384     		x = 0.94305419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3159 ÷ 214
    3159 ÷ 16384     		y = 0.19281005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94305419921875 × 2 - 1) × π
    0.8861083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.78379163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19281005859375 × 2 - 1) × π
    0.6143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93013132630194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.78379163} λ = 2.78379163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93013132630194))-π/2
    2×atan(6.89041507489641)-π/2
    2×1.42667342866268-π/2
    2.85334685732536-1.57079632675     		φ = 1.28255053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.78379163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.499511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28255053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.484732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15451 KachelY 3159 2.78379163 1.28255053 159.499511 73.484732
    Oben rechts KachelX + 1 15452 KachelY 3159 2.78417513 1.28255053 159.521484 73.484732
    Unten links KachelX 15451 KachelY + 1 3160 2.78379163 1.28244149 159.499511 73.478485
    Unten rechts KachelX + 1 15452 KachelY + 1 3160 2.78417513 1.28244149 159.521484 73.478485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28255053-1.28244149) × R
    0.000109039999999894 × 6371000     		dl = 694.693839999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28255053-1.28244149) × R
    0.000109039999999894 × 6371000     		dr = 694.693839999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.78379163-2.78417513) × cos(1.28255053) × R
    0.00038349999999987 × 0.284270831519143 × 6371000     		do = 694.55281082761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.78379163-2.78417513) × cos(1.28244149) × R
    0.00038349999999987 × 0.284375371276839 × 6371000     		du = 694.808230569983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28255053)-sin(1.28244149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.284270831519143-0.284375371276839)×R²
    abs(2.78417513-2.78379163)×0.000104539757695532×R²
    0.00038349999999987×0.000104539757695532×6371000²
    0.00038349999999987×0.000104539757695532×40589641000000     		ar = 482590.278974421m²