Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 15451 / 19043
↖ ↑ ↗
← S 28.023500°
W 10.250244°		 ← 1 078.41 m → S 28.023500°
W 10.239258°		 →
↑
1 078.36 m
↓
↑
1 078.36 m
↓
S 28.033198°
W 10.250244°		 ← 1 078.31 m →
1 162 855 m²		 S 28.033198°
W 10.239258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 15451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471542358398438 y=0.581161499023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471542358398438 × 215)
    floor (0.471542358398438 × 32768)
    floor (15451.5)     		tx = 15451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581161499023438 × 215)
    floor (0.581161499023438 × 32768)
    floor (19043.5)     		ty = 19043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 15451 / 19043 ti = "15/15451/19043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/15451/19043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 15451 ÷ 215
    15451 ÷ 32768     		x = 0.471527099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19043 ÷ 215
    19043 ÷ 32768     		y = 0.581146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.471527099609375 × 2 - 1) × π
    -0.05694580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.17890051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581146240234375 × 2 - 1) × π
    -0.16229248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.509856864358917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17890051} λ = -0.17890051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509856864358917))-π/2
    2×atan(0.60058153728362)-π/2
    2×0.54084699151098-π/2
    1.08169398302196-1.57079632675     		φ = -0.48910234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17890051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.250244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48910234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.023500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 15451 KachelY 19043 -0.17890051 -0.48910234 -10.250244 -28.023500
    Oben rechts KachelX + 1 15452 KachelY 19043 -0.17870876 -0.48910234 -10.239258 -28.023500
    Unten links KachelX 15451 KachelY + 1 19044 -0.17890051 -0.48927160 -10.250244 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 15452 KachelY + 1 19044 -0.17870876 -0.48927160 -10.239258 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48910234--0.48927160) × R
    0.000169259999999949 × 6371000     		dl = 1078.35545999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48910234--0.48927160) × R
    0.000169259999999949 × 6371000     		dr = 1078.35545999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17890051--0.17870876) × cos(-0.48910234) × R
    0.000191750000000018 × 0.882754965099155 × 6371000     		do = 1078.40811349761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17890051--0.17870876) × cos(-0.48927160) × R
    0.000191750000000018 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 1078.31094835462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48910234)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882754965099155-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.17870876--0.17890051)×7.95366905469441e-05×R²
    0.000191750000000018×7.95366905469441e-05×6371000²
    0.000191750000000018×7.95366905469441e-05×40589641000000     		ar = 1162854.89079279m²